5.10. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи.
Если проекции векторов поля и изменяются во времени по синусоидальному закону, то уравнения Максвелла можно записать в комплексной форме.
Пусть имеет проекции
,
,
.
Комплексной амплитудой вектора назовем вектор
.
Мгновенное значение вектора
.
Аналогично для напряженности магнитного поля комплексная амплитуда вектора
.
Мгновенное значение вектора
.
Если в уравнения Максвелла подставить вместо и величины и , то полученные решения будут справедливы не только для мнимых составляющих, но и для действительных составляющих. При этом запись уравнений значительно сократиться.
,
,
или
.
Аналогично запишутся и остальные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме:
;
;
Решив эти уравнения
и определив комплексные амплитуды
и
легко найти мгновенные значения векторов
поля из выражений
и .
Замечание. Иногда индекс m для обозначения комплексной амплитуды и точка над вектором опускаются.
5.11. Теорема Умова - Пойтинга в комплексной форме.
В курсе ТОЭ было введено понятие реактивной мощности.
Для последовательного соединения элементов RLC реактивная мощность
,
так как
,
то
.
Заменив
,
получим
.
Из первой части курса ТОЭ известно, что комплексная мощность
.
Аналогично введено понятие комплексного вектора Пойтинга
,
(5.25)
где
и
- комплексные амплитуды (индекс m
опущен),
- сопряженная
комплексная амплитуда (индекс m
опущен).
Теорема Умова - Пойтинга в комплексной форме
.
(5.26)
Знак « - » в правой части соответствует случаю, когда энергия потребляется внутри объема v и вектор Пойтинга имеет направление преимущественно внутрь объема v. Левая часть при этом также получается отрицательной.
Вещественная
часть
дает мощность, поглощаемую внутри объема
V (активную мощность),
мнимая – соответствует реактивной
мощности.
Эта теорема в
комплексной форме позволяет, например,
определить активное сопротивление R
и внутреннее индуктивное сопротивление
проводника, если известны комплексы
и
на поверхности этого проводника
,
где I – действующее значение тока.
При этом энергией Wэл в проводнике обычно пренебрегают, так как она меньше энергии Wмагн.
5.12. Уравнения электромагнитного поля в проводящей среде.
В проводнике токи смещения малы по сравнению с токами проводимости, и уравнения Максвелла при отсутствии стороннего поля принимают вид:
(5.27)
Решим эти уравнения относительно и . Возьмем ротор от левой и правой части первого выражения
.
Но
и
.
(5.28)
Точно так же
Но и, следовательно,
.
(5.29)
В частном случае гармонического изменения величин во времени
,
(5.30)
.