4.6. Силы магнитного поля, действующие на проводник с током.

П усть проводник с плотностью тока находится в магнитном поле с индукцией (см. рис. 4.5). Выделим в проводнике объем .

Если объемная плотность заряда , то в элементе содержится заряд . Считая точечным зарядом, получим

, но , поэтому

.

Проинтегрировав последнее равенство по объему проводника, получим выражение для силы, действующей на проводник с током

. (4.8)

Для случая линейного тока, используя правило перехода от объемного тока к линейному ( , ), имеем аналог

. (4.9)

4.7. Ротор векторной величины. Теорема Остроградского-Стокса.

Дивергенция вектора дает представление о структуре векторного поля с точки зрения наличия истоков или стоков поля в каждой его точке.

Не менее важной характеристикой векторного поля является способность сил поля совершать работу.

Пусть под действием сил поля вектора тело переместилось на расстояние .

Тогда элементарная работа будет

.

Работа сил векторного поля по замкнутому пути называется циркуляцией вектора .

.

Циркуляция вектора не характеризует векторное поле в каждой его точке с точки зрения наличия циркуляции (вихря) в этой точке, т.к. интегрирование ведется по замкнутому пути.

Для характеристики векторного поля с точки зрения наличия циркуляции (вихря) в каждой его точке введено понятие ротора векторной величины.

Ротор вектора в данной точке определяется как предел отношения линейного интеграла вектора по контуру, охватывающему площадку , к величине последней, когда эта площадка стремится к нулю. При этом площадка должна занимать такое из всех возможных положений, при котором этот предел имеет наибольшее значение. Таким образом,

. (4.10)

Если , то и .

Ротор – величина векторная.

Направление ротора совпадает с направлением нормали к площадке , причем за положительное направление ротора вектора принято считать направление перемещения оси штопора при повороте его рукоятки в сторону положительного обхода контура. Нахождение ротора, так же как и нахождение дивергенции представляет собой операцию дифференцирования по координатам.

В прямоугольной системе координат

. (4.11)

Согласно теореме Остроградского – Стокса поток вектора сквозь замкнутую поверхность можно заменить интегралом от вектора по замкнутому контуру, который ограничивает эту поверхность

. (4.12)

4.8. Вектор-потенциал магнитного поля.

Для удобства анализа и расчета магнитных цепей вводят векторную величину, которую по аналогии с потенциалом называют векторным потенциалом .

Получим соотношения, определяющие векторный потенциал, а также связь между векторным потенциалом и индукцией магнитного поля .

Если по проводнику протекает ток с плотностью , то согласно закону Био-Савара (4.3)

.

Интегрирование ведется по объему проводника.

Произведем преобразование подынтегральной функции, считая, что точка источника вектора фиксирована, а точка наблюдения является переменной. Тогда по точке наблюдения

, следовательно

.

Из векторного анализа известно, что

.

Т.к. все операции берутся по точке наблюдения, в которой и не зависит от координаты точки наблюдения, то , поэтому

.

Заменим подынтегральное выражение

.

Т.к. интегрирование ведется по объему проводника, а операция - по точке наблюдения, поэтому операции независимы, и их можно менять местами

, т.е. ,

где . (4.13)

Перейдем к линейному току по правилу , , тогда

. (4.14)

Т.к. - вектор, то при расчетах следует определить его проекции на оси x, y, z:

(4.15)

В электрическом поле потенциал является решением уравнения Пуассона .

Выражения для проекций векторного потенциала аналогичны выражениям для φ, поэтому являются решением уравнений, аналогичных уравнению Пуассона:

, или

- (4.16)

дифференциальное уравнение магнитного поля (или уравнение Пуассона для вектор-потенциала).

Проекции векторного потенциала пропорциональны плотности тока , а при постоянном токе , поэтому , т.е. линии вектора всегда замкнуты.

Выше было показано, что стоки и истоки линий вектора отсутствуют в областях, в которых . Убедимся в этом еще раз, используя уравнение :

.

Какой же характер имеет магнитное поле в точках, где ?

Для получения ответа вычислим .

.

, поэтому

. (4.17)

Таким образом, в областях, где поле вектора является безвихревым (потенциальным), в котором .

В областях, где поле является вихревым, .