2.21. Проводник в электрическом поле.

Вещества, имеющие свободные заряды, называются проводниками. Металлы имеют в качестве свободных зарядов электроны.

В несем в постоянное электрическое поле проводник. Под действием силы электрического поля свободные заряды будут перемещаться по всему объему проводника, а связанные смещаются в пределах атома. В результате такого перемещения внутри проводника создаются два противоположно направленных поля: одно из них создано в результате перемещения свободных зарядов (пунктирная стрелка), а другое – внешнее (сплошная стрелка) (рис. 2.13).

Перемещаться свободные заряды внутри проводника будут до тех пор, пока напряженность результирующего поля не станет равной нулю.

Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю ( ), т.к. внешнее поле компенсируется полем свободных зарядов, расположенных на поверхности тела. Это свойство проводника используется для экранирования электрического поля.

Определим величину и направление вектора на поверхности проводника, помещенного в электрическое поле. Так как

, то и .

При прохождении через поверхность, несущую заряд, тангенциальная составляющая не изменяется, значит

.

Нормальная составляющая терпит изменения при переходе через поверхность раздела сред, т.е.

, т.к. , то . (2.40)

На поверхности проводника существует только нормальная составляющая вектора , поэтому . Т.е. разность потенциалов между любыми двумя точками проводника равна нулю. Электрическое поле в середине проводника отсутствует.

Выводы.

В электростатическом поле:

1. Напряженность поля на внешней поверхности проводника направлена нормально к поверхности.

2. Поверхность проводника представляет собой граничную поверхность и может быть использована в качестве граничных условий.

3. Т.к. вектор напряженности направлен нормально к поверхности, то поверхность проводника любой формы является эквипотенциальной поверхностью (потенциал проводника - постоянная величина).

2.22. Электрическая емкость.

Если в заряженном уединенном проводнике изменить заряд, то изменится его потенциал, т.е. . Коэффициент пропорциональности .

В системе двух проводников, заряженных равными по величине, но противоположными по знаку зарядами, и .

Коэффициент С называется электрической емкостью. Единица измерения – фарада (Ф).

Т.к. , то, изменяя размеры и форму проводника, изменим и плотность заряда, а, следовательно, и потенциал. Таким образом, потенциал зависит от геометрических размеров проводника и диэлектрической проницаемости, и электрическая емкость зависит от этих величин. Формально под емкостью проводника или системы проводников понимают способность их накапливать электрический заряд.

Численно емкость равна заряду, который нужно сообщить проводнику, чтобы изменить потенциал на 1 вольт. Электрическая емкость характеризует геометрическую структуру поля и зависит от среды, в которой находится поле.

2.23. Теорема единственности решения уравнения Лапласа.

Метод зеркальных изображений.

Электрическое поле описывается уравнениями Лапласа или Пуассона . Оба эти уравнения являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Уравнения в частных производных имеют в общем случае множество линейно независимых друг от друга решений. В любой же конкретной практической задаче есть единственная картина поля, т.е. единственное решение. Так уравнению Лапласа удовлетворяют функции

и т.д.

Из множества линейно независимых решений, допускаемых уравнением Лапласа или Пуассона, выбор единственного, удовлетворяющего конкретной задаче, производят с помощью граничных условий.

Т еорема. Если решение уравнения Лапласа удовлетворяет граничным условиям на границе рассматриваемой области, то оно является единственно возможным. Следовательно, для определения поля при помощи уравнений Лапласа нужно знать граничные условия.

П усть поле возбуждается системой зарядов, и задан потенциал на границе рассматриваемой области. Если эту систему заменим системой других зарядов, но так, чтобы на заданной поверхности (границе) потенциал не изменился, то согласно теореме единственности решение уравнение Лапласа остается неизменным. Метод электрических изображений (рис. 2.14) и заключается в том, что реальную систему зарядов заменяют искусственной так, чтобы потенциал на граничной поверхности не изменился. Такая замена часто позволяет облегчить расчет не симметричных полей в неоднородных средах.

Частным случаем этого метода является метод зеркальных изображений (рис. 2.15).

Поле заряда q заменяется системой двух зарядов так, чтобы картина поля не изменилась (заряд отображается в нижнем полупространстве зеркально). Поле рассчитывается как результирующее, возбуждаемое зарядами +q и -q и граница раздела сред не учитывается, т.е. пространство рассматривается однородным, таким, в котором находится заряд q.