2.18. Вектор электрической индукции. Теорема

Гаусса в дифференциальной форме для неоднородной среды

В общем случае поле возбуждается как свободными, так и связанными зарядами, т.е.

.

Можно показать, что

, тогда в соответствии с (2.21)

.

Из полученного соотношения

или .

Обозначим , тогда

. (2.34)

Это теорема Гаусса в дифференциальной форме для неоднородной среды.

Источником вектора является свободный электрический заряд.

Если объемная плотность заряда в данной точке поля положительна ( ), то из бесконечно малого объема, окружающего данную точку поля, линии вектора исходят. Если , то в бесконечно малый объем, внутри которого находится данная точка поля, линии вектора входят. Если в данной точке поля , то в данной точке объема нет ни истока, ни стока линий вектора .

Вектор является расчетной величиной и называется вектором электрической индукции (смещением электрического поля). Единица измерения – Кл/м².

В изотропных средах вектора и совпадают по направлению. При относительно слабых полях для большинства диэлектриков вектор пропорционален напряженности поля, т.е. . В этом случае

. (2.35)

- относительная диэлектрическая проницаемость, она показывает во сколько раз поле в «пустоте» (вакууме) интенсивнее, чем в диэлектрике;

- абсолютная диэлектрическая проницаемость среды. Единица измерения – Ф/м.

Отсюда - относительная диэлектрическая проницаемость.

Для вакуума .

2.19. Теорема Гаусса в интегральной форме

для неоднородной среды.

В неоднородной среде в соответствии с (2.34) . Интегрируя это равенство по объему, получим

,

где - суммарный свободный заряд, находящийся в рассматриваемом объеме.

Переходя по теореме Остроградского от интеграла по объему к интегралу по поверхности, получим

(2.36)

Это теорема Гаусса в интегральной форме для неоднородной среды - поток вектора индукции сквозь замкнутую поверхность равен суммарному свободному заряду, находящемуся внутри этой поверхности.

Линии, касательные к которым во всех точках совпадают по направлению с вектором , называются линиями вектора .

В изотропных средах линии вектора совпадают с линиями вектора , т.е. вектор совпадает по направлению с вектором .

Линии индукции следует наносить на чертеж так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу площади, нормальной к вектору , было пропорционально потоку вектора через эту площадку.

2.20. Граничные условия в электростатическом поле.

П ри переходе через границу раздела сред векторы и изменяются скачком, т.к. скачкообразно изменяется диэлектрическая проницаемость .

При решении задач часто необходимо знать, как ведут себя векторы и на границах раздела сред, т.е. знать граничные условия.

Под граничными условиями в электрическом поле понимают условия на тех поверхностях, где и претерпевают скачкообразные изменения, или на которых значения этих величин известны.

Пусть поверхность является границей раздела двух однородных и изотропных сред с диэлектрическими проницаемостями и (рис. 2.12). Выберем на поверхности раздела двух сред элемент дуги и построим контур abcd на этом элементе дуги. Выберем произвольно направление обхода контура. Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна нулю (поле потенциальное) (2.23)

.

Устремляя ad и bc к нулю, получим

,

откуда

, (2.37)

где и - касательные (тангенциальные) составляющие вектора на поверхности раздела (при наличии поверхностного заряда соотношение такое же).

Таким образом, тангенциальные составляющие вектора при переходе через поверхность раздела двух сред вне зависимости от наличия заряда на поверхности раздела не терпят разрыва.

Так как , то

, (2.38)

т.е. тангенциальная составляющая вектора электрической индукции на границе раздела двух сред терпит разрыв, изменяется прямо пропорционально диэлектрической проницаемости сред вне зависимости от наличия заряда на поверхности раздела.

Поведение нормальных составляющих и можно определить при помощи теоремы Гаусса в дифференциальной форме, записанной для поверхности раздела (2.34) при замене объемного заряда с удельной плотностью на поверхностный заряд с плотностью .

Уравнение для поверхности раздела примет вид

,

где - поверхностная дивергенция, которая определяет поведение нормальных составляющих вектора на поверхности раздела сред.

Так как , получим

.

В частном случае, если , то для нормальных составляющих векторов и имеем

; . (2.39)

Выводы:

а) при наличии поверхностного заряда:

, ;

, ;

б) при отсутствии поверхностного заряда:

, ;

, .

, , а отношение

.

Эта формула выражает закон преломления линий векторов и при переходе из одной среды в другую при отсутствии поверхностного заряда.