2.15. Связь потенциала с напряженностью поля.

В любой точке поля, возбужденного свободным зарядом, распределенным с объемной плотностью ,

.

Возьмем градиент потенциала .

Операции градиент и интегрирование не зависят друг от друга, т.к. градиент берется по координатам точки наблюдения, а интегрирование ведется по объему, в котором распределен заряд, поэтому

.

Тут учтено, что .

Следовательно,

. (2.31)

Пользуясь этим равенством можно определить , если известен закон изменения .

2.16. Уравнения Пуассона и Лапласа.

Совместное решение уравнений и позволяет решить прямую задачу электростатики (рассчитать поле по заданному распределению зарядов).

Возьмем дивергенцию от уравнения

.

Но , поэтому

(уравнение Пуассона). (2.32)

Уравнение Пуассона связывает между собой потенциал и объемную плотность заряда в произвольной точке поля. Если в рассматриваемой области ,

то (уравнение Лапласа). (2.33)

Уравнение дополняет равенство .

При расчете полей с помощью этих уравнений должны быть однозначно заданы граничные условия, и нужно рационально выбрать систему координат.

2.17. Поляризация диэлектриков.

Диэлектрик – это вещество, основным электрическим свойством которого является способность поляризоваться в электрическом поле.

Будем считать, что идеальные диэлектрики (изоляторы) не имеют свободных зарядов, т.е. их проводимость равна нулю.

Заряды, способные свободно перемещаться под влиянием электрического поля, перемещение которых не ограничивается внутримолекулярными силами, (электроны в металлах, ионы в газах и в электролитах), а также заряды, внесенные в диэлектрик извне и нарушающие нейтральность диэлектрика, называются свободными зарядами.

З аряды, входящие в состав нейтральных молекул диэлектрика, и ионы в твердых диэлектриках, которые могут перемещаться в пределах атома вблизи определенного положения равновесия, называются связанными зарядами.

При внесении диэлектрика в электрическое поле он поляризуется, т.е. под действием сил поля происходит упругое смещение связанных зарядов. При анализе вводят понятие плотности связанных зарядов .

Рассмотрим атом водорода (рис. 2.11). Заряды электрона и ядра будем считать неподвижными точечными. Заряд электрона расположен на оси его вращения. Под действием внешнего электрического поля центр действия положительного заряда смещается по внешнему полю, а центр действия отрицательного заряда – против поля. В электрическом поле нейтральный атом водорода поляризуется, происходит деформация электронной оболочки (орбиты). Атом уже не нейтральный, а имеет собственное поле, поэтому результирующее поле в диэлектрике изменяется. Сам атом образует диполь. Под диполем понимают два равных по величине и противоположных по знаку заряда, жестко связанных между собой и находящихся на расстоянии l друг от друга. Примем l<<R – расстояния до точки наблюдения. Для характеристики диполя вводят дипольный момент , причем направляют к положительному заряду. При внесении диэлектрика в электрическое поле все диполи ориентируются и создают собственное поле противоположное внешнему, следовательно, результирующее поле изменяется. Для характеристики поляризованности диэлектрика вводят понятие вектора поляризации (поляризованности) – суммарный дипольный момент всех дипольных систем, находящихся в единице объема вещества

.

Если диэлектрик не находится во внешнем электрическом поле, то , т.е. диэлектрик не поляризован.