Добавил:

darkl0rd Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

Основы теории колец

Файл:

otksp_STZI_press для диска

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.12.2019

Размер:

17.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 5552 53 54 55 > Следующая >>>

Реалізувати таку ОПФ можна двома ланками першого і другого порядків:

HU ( p) =	p		p2		.
	p +104	p2	+ 2,5 103	p + 25 106

Щоб перевірити результат апроксимації, обчислимо частотну залежність ослаблення за потужністю за формулою (10.1):

A (ω) =10lg	1	=10 lg	( jω+104 )[( jω)2 + 2,5 103 jω+ 25 106 ]	2	,


P	HU2 (ω)		( jω)3

Після визначення модуля і піднесення його до квадрата виходить:

Ap (ω) =10 lg		(ω2	+108 )[(25 106 −ω2 )2 +6,25 106 ω2 ]	.
Ap (ω) =10 lg			ω6	.
			ω6
			A (ω), дБ
Частотна	залежність		P 22
AP (ω) , розрахована за цією
формулою (рис.10.14), показує
відповідність функції	AP (ω) за-
даним умовам.

0,97

2,5

5,0

ω×103 рад/с

Рисунок 10.14 – Частотна залежність ослаблення ФВЧ у прикладі 10.3

10.7 Смугові фільтри з симетричними характеристиками

Трансформування ФНЧ-прототипу у смуговий фільтр (СФ) виконується за допомогою заміни нормованої комплексної змінної ~p ФП на нормовану

комплексну змінну p СФ за формулою:


~		p2 + k∆2				~			( jΩ)2 + k∆2
p	=			, або		jΩ =					,
		p								jΩ
де нормовані змінні СФ відповідно становлять:
		p =	p		;	Ω =		ω		,

			Πω				Πω

де Πω − смуга пропускання СФ;

k∆ = ω0 .

Πω

У формулі (10.96) ω0 − так звана центральна частота СФ. Перетворення виразу (10.94) до вигляду:

(10.94)

(10.95)

(10.96)

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

511

= 0

(10.97)

− p p + k∆

дозволяє визначити нормовані корені СФ через нормовані корені ФП:

p =

−k∆2 .

(10.98)

Підстановка

p = j Ω;

до

виразу

(10.98)

дозволяє

встановити

= jΩ

зв’язок між нормованими частотами СФ ( Ω) і ФП ( Ω):

jΩ

Ω

jΩ =

jΩ

+( jk∆)

−k∆ =

+ k∆

звідки виходить:

Ω

Ω =

(10.99)

+ k∆ .

У виразі (10.99) знак мінус перед коренем опущено, щоб забезпечити до-

датне значення

Ω. На підставі формули (10.94)

можна довести,

що інтервал

p = j 0K j∞

перетворюється

відповідно

в інтервал

= − j∞K j∞. Діапазон

частот ФП

межам якого відповідають частоти

перетворюється у

2 Ωi ,

± Ωi ,

діапазон Ω~ i СФ, тобто вдвічі скорочується. Щоб переконатись у цьому, згідно з виразом (10.99) обчислюють частоту СФ, яка відповідає частоті Ω~ i ФП:

Ω

Ωi2

(10.100)

+ k∆

можна поставити частоту

тоді у відповідність частоті −Ωi

Ω

Ωi1 = −

(10.101)

+ k∆ .

Отже, частотний інтервал СФ

(10.102)

Ωi2 −Ωi1 = Ωi

дійсно вдвічі скоротився. Частотному інтервалу ФП у діапазоні від − j∞ до j∞

відповідатиме також удвічі менший частотний інтервал СФ на уявній осі у діапазоні від j0 до j∞. У перетворенні ~p = j0 на p = jk∆ можна переконатись

підстановкою Ω~ = 0 до виразу (10.100). Отримані співвідношення зведено у табл.10.4.

Таблиця 10.4 – Співвідношення між комплексними нормованими частотами ФП і СФ

~	j∞	~	j0	~	− j∞
p	j∞	jΩ	j0	− jΩ	− j∞
p	j∞	jΩ2	jk∆	jΩ1	j0

512	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

Перетворення частотного діапазону ФНЧ-прототипу (ліворуч) у частотний діапазон СФ (праворуч) показано на рис.10.15 відповідно до значень, наведених у табл.10.4.

~		+j∞ Im p
Im p	+j∞
			jΩ2
~		jk∆
			СП СФ
jΩ
СП ФНЧ	j0		jΩ1
			j0

	~
			Re p
	Re p

− jΩ

−j∞

Рисунок 10.15 – Перетворення частотних діапазонів ФНЧ−СФ

			~
			AP (Ω)
				As
			3 дБ	Π~			Π~	= Π	ω
				ω			ω		ω
							A∆
~	−1	~	0	~	1	~	~
− Ωs	−1	−Ω∆	0	Ω∆	1	Ωs	Ω
~	~	~	0	~	~	~	~
−ωs −ωгр		−ω∆	0	ω∆	ωгр	ωs	ω

AP (Ω)

Рисунок 10.16 – Перетворення частотної характеристики

ФНЧ−СФ для ФБ:

AP (Ω) → AP (Ω)

3 дБ

A∆

Πω

Ωгр1	Ωгр2
	Ωгр2
Ωs1 Ω∆1 k∆ Ω∆2	Ωs2	Ω
ωs1 ωгр1 ω∆1 ω0 ω∆2 ωгр2 ωs2		ω


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	513

Перетворення частотного діапазону ФП у вдвічі менший частотний діапазон СФ відбувається при збереженні відповідних значень ослаблення за

потужністю: AP (Ω~ i ) = AP (Ωi ) . Таке перетворення частотних характеристик

ілюстровано графіками (рис.10.16 для ФБ; рис.10.17 для ФЧ).

Властивість, визначена співвідношенням (10.102), відображає принцип збереження довжини частотного інтервалу. Це означає, що ФП з нормованою

		~	перетворюється на СФ, який має таку саму
смугою пропускання ΠΩ = 0KΩгр			перетворюється на СФ, який має таку саму
~
нормовану смугу пропускання.
~	~	=1) ФП відповідають частоти		ωгр2 і ωгр1 СФ,
Дійсно, частоті ωгр	( Ωгр	=1) ФП відповідають частоти		ωгр2 і ωгр1 СФ,

нормовані значення яких Ωгр2 і Ωгр1 визначають за формулами (10.100), (10.101), відповідно:

Ωгр2	=	1	+	1	+ k∆2	;	Ωгр1	= −	1	+	1	+ k∆2 .
		2		4					2		4

Нормована СП СФ визначається як ΠΩ = Ωгр2 −Ωгр1 =1. Отже, смуга ΠΩ дійсно не змінилася.

Слід зауважити, що згаданий принцип визначення нормованих частот виконується як для ФБ, так і для ФЧ, різним є тільки рівень ослаблення AP (ωгр) .

			~
			AP (Ω)
				As
				Π~
				ω
						A∆
~	−1		0	1	~	~
− Ωs	−1		0	1	Ωs	Ω
~	~		0	~	~	~
−ωs −ω∆			0	ω∆	ωs	ω
Π~	= Π		A	AP (Ω)
Π~	= Π	ω	A
ω		ω	s

Πω

Рисунок 10.17 – Перетворення частотної характеристики

ФНЧ~−СФ для ФЧ:

AP (Ω) → AP (Ω)

A∆
0	Ωs1 Ω∆1	k∆ Ω∆2	Ωs2
0	ωs1 ω∆1	ω0 ω∆2	ωs2

514	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

Щоб дослідити ще одну важливу властивість, визначимо добуток нормо-

ваних частот (10.100), (10.101) СФ:

Ω

Ω~ 2

−

Ω~ 2

i + k 2

i = k 2 .

∆

З урахуванням співвідношень (10.95), (10.96) цей добуток набуває вигля-

ду: (ω

/ Π

)(ω

/ Π

) =ω2

/ Π2 , звідки

гр2

гр1

ωгр1 ωгр2 = ω02 .

(10.103)

Рівність (10.103) визначає властивість геометричної симетрії частотної залежності AP СФ відносно центральної частоти ω0 . Справедливими будуть

також аналогічні добутки для частот ω∆1,2 , ωs1,2 :

ω	∆1	ω	∆2	= ω	s1	ω	s2	= ω2 .	(10.104)
	∆1		∆2		s1		s2	0

Вихідними даними для розрахунку СФ є смуга пропускання Πω, центральна частота ω0 та співвідношення, аналогічні нерівностям (10.7):

A (ω		) = A (ω		) ≤ A ;	(10.105)
P	∆1	P	∆2	∆	(10.105)
AP (ωs1) = AP (ωs2 ) ≥ As ,
причому ωs1 < ω∆1 < ω∆2 < ωs2 .	З двох значень частоти,				об’єднаних рівністю

(10.104), як правило, відоме тільки одне. Тому, симетричні частоти обчислюють, використовуючи умову (10.104), за заданими частотами (наприклад:

∆2

=ω2 /ω

∆1

;

=ω2

/ω

), що дозволяє перейти до співвідношень (10.7),

складених стосовно ФП для тих самих ослаблень:

) ≤ A ;

(ω

(10.106)

~∆

∆

AP (ωs ) ≥ As ,

де відповідні частоти ω ФП визначають з огляду на формулу (10.102):

= ω∆2 −ω∆1

;

ω∆

(10.107)

= ωs

2 −ωs1 .

ωs

Умови (10.106) дозволяють знайти n* − орієнтовний порядок ФБ (див.

формулу (10.26)), а потім і порядок n ≥ n* ( n − ціле число), а також граничну частоту ωгр за формулою (10.29). Для ФЧ, виходячи з умов (10.106), обчислю-

ють коефіцієнт нерівномірності ослаблення ε і порядок фільтра n за формула-

ми (10.66) і (10.67) відповідно.

Щоб визначити ОПФ, необхідно знайти поліном Гурвіца. Спочатку визначають нормований поліном V ( ~p) . Так, для ФБ згідно з виразом (10.37) запи-

сують нормований поліном Гурвіца:

~	n	~	~	(10.108)
V ( p) = Π		( p	− pk ), k =1, 2, K, n ,	(10.108)
	k =1

де ~pk − нормовані корені ФП, які розраховують за формулою (10.36):

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

515

= −sin

2k −1

π+ j cos

2k −1

π,

k =1, 2, K, 2n .

(10.109)

Для ФЧ нормований поліном Гурвіца ФП визначають за виразом (10.78):

= 2

n−1

(10.110)

V ( p)

ε∏( p

− pk ) ,

k =1

де pk − нормовані корені ФП ( pk

= −∆k

± jΩk ), дійсну та уявну частини

яких обчислюють за формулою (10.76):

∆k = −sin uk sh v;

(10.111)

Ωk =cosuk ch v.

Значення uk , v

розраховують за формулами (10.71), (10.72), відповідно.

забезпечують вибором знака у виразі (10.72).

Додатне значення ∆k

до

Перехід від

нормованої

ОПФ

ФП

( p) =1/V

( p) з

порядком n

нормованої ОПФ СФ удвічі збільшує порядок. Оскільки нормовані корені

ФП відомі, ОПФ ФП доцільно представити як добуток ОПФ ланок другого по-

(2)	~
рядку HU i	( p) для парного n :				n / 2
			~		n / 2	(2)	~		(10.112)
			~			(2)	~
		HU ( p) =			∏HU i		( p) .
					i=1
Якщо	n − непарне, слід виділити одну ланку з передатною функцією
	(1)	%	%	%		~
першого порядку HU		( p) =	1/( p + ∆) ,			( −∆ − нормований дійсний корінь ФП).
Тоді інші ланки, що увійдуть до добутку, матимуть другий порядок:
						n−1
		~		(1)	~	2	(2)	~	(10.113)
	HU ( p) = HU				( p) ∏HU i			( p) .	(10.113)
						i=1

У виразі (10.113) ОПФ ФП i -ї ланки другого порядку

			(2)	~		1
			HU i	( p) =				,
			HU i	( p) =	~	~ ~ ~*	)	,
~		~*			( p	− pi )( p − pi	)		(1)	~
~	і	~*	− нормовані комплексно-спряжені корені, а						(1)	~
де pi	і	pi	− нормовані комплексно-спряжені корені, а						HU	( p)

ФП ланки першого порядку з коренем −∆~ , яка перетворюється згідно з

(10.114)

− ОПФ виразом

(10.94) у ОПФ ланки другого порядку СФ з двома комплексно-спряженими ко-

ренями (рис.10.18, а).

Перетворення ОПФ i -ої ланки ФП (10.114) до ОПФ СФ доцільно виконувати для кожного кореня окремо:

(2) ( p) =

(10.115)

p% − p%

% − %*

U i

p%=( p

) / p

p pi

∆

p=( p

+k∆ ) / p

Перший добуток у виразі (10.115) перетворюється на передатну функцію

з двома комплексними коренями

p1 і

p2 (не комплексно-спряженими), а дру-

гий – на ОПФ з комплексними коренями p3 і p4

(не спряженими), причому па-

516	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

ри

p1 і

p3 , а також

p2 і

p4 є комплексно-спряженими (рис.10.18, б), тобто

p1,3 = −∆1 m jΩ1;

p2,4

= −∆2 ± jΩ2 . Це дозволяє подати ОПФ СФ у вигляді:

HU ( p) =

(10.116)

( p − p1)( p − p3 )

( p − p2 )( p − p4 )

причому

знаменник кожного співмножника – поліном другого порядку

відносно

p з дійсними додатними коефіцієнтами (10.39)

або (10.79). Отже,

ланка другого порядку ФП перетворюється на СФ,

порядок якого n = 4. Щоб

отримати вираз (10.116), слід безпосередньо від коренів

перейти до коренів

p1,2

p1, p4 , p2 , p3 на підставі співвідношення (10.98).

Денормування ОПФ СФ здійснюється з урахуванням виразу (10.95):

HU ( p) = HU ( p) p=p / Πω .

(10.117)

Im p

Ω2

Im p

Ω1

Ω

− ∆

Re p

− ∆2

− ∆1 0 Re p

− ∆

Re p

− ∆

Re p

−Ω

− Ω1

− Ω2

Рисунок 10.18 – Відповідность між нормованими коренями ФП і СФ:

а – дійсний корінь ФП, б – комплексно-спряжені корені ФП

Приклад

10.4.

Визначити

ОПФ

СФ

Чебишова,

якщо на

частоті

ω∆1 = 404,75 103

рад/с ослаблення за потужністю не має перевищувати 0,97 дБ, а на

частоті ωs2 =512,68 103

рад/с − бути меншим, ніж 24 дБ. Центральна частота СФ

становить 424,279 103 рад/с, а смуга пропускання − 40 103 рад/с.

Розв’язання. На підставі властивості геометричної симетрії частотної залеж-

ності Ap (10.104) визначимо частоти ω∆2 і ωs1:

ω∆2

ω02

424,2792 106

= 444,75

103 рад

;

ω∆1

404,75 103

ωs1

ω02

424,2792 106

= 351,120

103 рад.

ωs2

512,68 103

~ ~За принципом збереження довжини частотного інтервалу визначимо частоти ω∆ і ωs (рис.10.6, а) фільтра-прототипу:

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

517

= 444,75 10

−404,75 10

= 40 10

рад

ω∆ = ω∆2 −ω∆1

;

яка дорівнює значенню смуги пропускання СФ, тобто Πω = ω∆

рад

512,68 10

−

351,12 10

=161,56

ωs = ωs2 −ωs1 =

Виходячи з виразу (10.49), обчислимо нормовану частоту ФП:

~	~		161,56 10		3
	ω
Ωs =	s	=		3	= 4,039.
	~		40 10
	ω∆

За формулами (10.66) і (10.67) визначимо ε і n :

ε =

100,1Α∆

−1 =

100,1 0,97 −1 = 0,500259 ;

n ≥

Arch(

100,1As −1 /ε)

Arch(

100,1 24

−1 / 0,500259)

= 2,000 .

Arch

Arch 4,039

Ωs

Нормовані корені ФП знайдемо за формулою (10.76) для k =1, 2 , використо-

вуючи співвідношення (10.71) і (10.72). Якщо k =1:

∆1 = −sin u1sh v;

Ω1 =cos u1ch v ,

де u =

2k −1

= π ;

v = −

Arsh

= −

Arsh

= −0,721818 , причому

k =1

0,5

від’ємний знак v забезпечує від’ємне значення ∆1.

= −sin

sh (−0,721818) = 0,555893;

Отже,

∆1

ch (−0,721818) = 0,899454.

Ω =cos

За умови k = 2 :

−1 π

3π

∆2 = −sin u2 sh v;

де u2

;

Ω2 =cosu2 ch v ,

k =2

= −sin

3π

sh (−0,721818)

= 0,555893;

∆2

3π

ch (−0,721818) = −0,899454,

Ω2 =cos

тобто

± j0,899454 .

p1, 2

= −∆1 ± jΩ1 = −0,555893

Для здобуття нормованих коренів СФ, попередньо визначимо згідно з виразом

424,26 103

(10.96) коефіцієнт k∆ =

40 103

=10,6065 .

Нормовані корені СФ обчис-

Πω

лимо за формулою (10.98):

p =

2 .

p1 ±

p1 −k 2

;

p2 ±

p2 −k

1,2

∆

3,4

∆

518	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

Після підстановки числових значень отримаємо:

p1 = −0,266168 −j10,16267 = −∆1 −jΩ1; p2 = −0,289725 +j11,062124 = −∆2 +jΩ2; p3 = −0,266168 +j10,16267 = −∆1 +jΩ1; p4 = −0,289725 −j11,062124 = −∆2 −jΩ2 ,

звідки видно, що корені p1, p3 , а також p2 , p4 утворюють комплексно-спряжені па-

ри. Нормовану ОПФ СФ четвертого порядку представимо як добуток двох ОПФ ланок другого порядку (10.116):

HU ( p) = HU1(2) ( p) HU (22) ( p) , або спростивши позначення HU ( p) = H1( p)H2 ( p) .

З урахуванням виразу (10.79) запишемо:

H1( p) =

kR p

;

H2 ( p) =

2 + 2∆ p + ∆2

+Ω2

p2 + 2∆

p + ∆2

+Ω2

де kR =1/ 2ε =1.

Підставимо значення дійсних і уявних частин коренів:

( p) =

; H2 ( p) =

p2 +0,532336 p +103,350727

p2 +0,57945 p

+122,454527

Денормовані ОПФ ланок другого порядку отримаємо на підставі

співвідношення (10.117):

Πω p

( p) =

;

p2 + 0,532336

Πω p +103,350727Πω2

H2 ( p) =

Πω p

p2 + 0,57945Πω p +122,454527Πω2

Для перевірки отриманих результатів, визначимо частотну залежність ослаблення СФ, використовуючи вираз (10.1):

AP (ω) =10lg[1/ H12 (ω) HU2 (ω)],

де H12 (ω) і H22 (ω) − АКХ ланок другого порядку;

Πω2 ω2

(ω) =

( p)

Πω2 −ω2 )2 +(0,532336Πω ω)2

p= jω

(103,350727

аналогічно визначається H 2

(ω) . З графіку частотної залежності

A (ω) (рис.10.19)

видно, що значення AP (ω∆1,2)

і AP (ωs1,2 ) задовольняють заданим умовам.

AP (ω), дБ

AP(404750) = 0,962 дБ

AP(512680) = 24,001 дБ

Рисунок 10.19 – Частотна залежність ослаблення СФ порядку n = 4

0	3,5	4	4,5	ω×	5	рад/с
	3,5		4,5	10		рад/с

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

519

10.8 Загороджувальні фільтри з симетричними характеристиками

Нормовану ОПФ загороджувального фільтра (ЗФ) можна отримати пере-

творенням ОПФ ФП, оберненим виразу (10.94):

jΩ

, або

jΩ =

(10.118)

p2 + k∆2

( jΩ)2 + k∆2

p − нормова-

де p = jΩ = j(ω/ωгр) − нормована комплексна частота ФП;

на комплексна частота ЗФ:

p = jΩ = j

(10.119)

∆ωз

Нормування здійснюють відносно смуги затримання ∆ωз, яка для ФБ ви-

значається на рівні 3 дБ, а для ФЧ − на рівні A∆ .

Константа k∆ у виразі (10.118) становить:

k∆ =

ω0

(10.120)

де ω0

∆ωз

− центральна частота ЗФ. Перетворення (10.118) трансформує нор-

мовану частотну характеристику ослаблення ФНЧ у характеристику AP (Ω) ,

симетричну відносно центральної частоти ЗФ, із дотриманням принципу збереження довжини частотного інтервалу (10.102).

Якщо до ОПФ ФП спочатку застосувати перетворення (10.81) (тобто перетворити ФНЧ у ФВЧ), а потім використати перетворення (10.94) (ФВЧ–СФ), виходить відповідність (10.118). Така послідовність перетворень (рис.10.20) ілюструє, по-перше, трансформування смуг пропускання і затримання ФП для

~	~		~
комплексної змінної p	= jΩ,		Ω < 0 у відповідні смуги ФВЧ відносно ком-
(	% (	= jΩ		~
плексної змінної p =1/	p, p	= jΩ		при збереженні рівності: AP (Ωi ) = AP (Ωi ) .

Від’ємне значення Ω~ не впливає на перетворення частотної залежності AP , яка

є парною функцією частоти. По-друге, на рис.10.20 показано перетворення СП і СЗ ФВЧ в інші смуги ЗФ для комплексної змінної p = jΩ, Ω > 0, причому

зв’язок комплексної змінної p ЗФ з комплексною змінною p ФВЧ встановлюють за формулою (10.94):

p( = p2 +p k∆2 .

Це перетворення також передбачає незмінність значень ослаблення ФВЧ і ЗФ на відповідних частотах:

AP (Ωi ) = AP (Ωi ) .

(10.121)

Дані про комплексні змінні різних типів фільтрів наведено у табл.10.5. Оскільки перетворення ОПФ ФВЧ у ОПФ ЗФ здійснюється за умови

(10.121) на підставі перетворення (10.94), для якого виконується принцип збереження довжини частотного інтервалу, смуга пропускання ФВЧ збігається зі смугою затримання ЗФ. Крім того, частотні характеристики ЗФ також мають

520	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 5552 53 54 55 > Следующая >>>