Добавил:

darkl0rd Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

Основы теории колец

Файл:

otksp_STZI_press для диска

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.12.2019

Размер:

17.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 5551 52 53 54 55 > Следующая >>>

AP (ω)	n = 3	HU (ω)
	n = 3	n = 2
As		1
		HU (ω∆ )	n = 2

Πω

∆А						HU (ωs )
0	ω	∆	ω	s	ω	0

Πω

n = 3

б ω∆ ωs ω

Рисунок 10.6 – Частотні залежності ФНЧ Чебишова (n = 2, 3):

а– ослаблення; б – коефіцієнта передачі за напругою

Зурахуванням співвідношення (10.63) рівності (10.64) набувають вигляду:

	+ε	2	cos			2	(n arccos1)]	= A∆ ;
10 lg[1
		2		2
	+ε		ch		(n Arch Ωs )]			= As .
10 lg[1

Враховуючи, що arccos 1 = 0 , з першого рівняння виходить:

lg(1+ε2) = 0,1A , або 1+ε2	=100,1A∆ ,
∆

звідки коефіцієнт нерівномірності ослаблення

ε= 100,1Α∆ −1 .

Здругого рівняння системи (10.65) виходить:

100,1As	=1+ε2ch2 (n Arch Ωs ) ,			або	ch(n Arch Ωs ) =			100,1As −1	,
								ε
звідки	n Arch Ωs = Arch				100,1As −1		.
звідки	n Arch Ωs = Arch					ε	.
						ε
Остаточно порядок фільтра n можна обчислити за формулою:
		Arch	100,1As −1
	n ≥	Arch		ε		.
				ε
		Arch		Ωs
		Arch		Ωs

(10.65)

(10.66)

(10.67)

Значення n слід округлювати до більшого цілого значення, яке задовольняє вихідним нерівностям (10.7).

Щоб знайти полюси ОПФ ФНЧ Чебишова (корені V ( p) ), спочатку визна-

чають полюси АКХ. На підставі формули (10.34) з урахуванням виразу (10.56) виходить:

V ( p)	2 =1+ϕ2 (Ω)		=1+ε2T 2	(Ω)	.	(10.68)


		Ω=− jp	n		Ω=− jp

Прирівнявши праву частину виразу (10.68) до нуля, після підстановки (10.53) можна записати рівняння, корені якого збігаються з полюсами АКХ:


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	501

1+ε2 cos2 nZ = 0 ,

(10.69)

звідки

cos nZ = ±

(10.70)

Тепер Z вважається комплексною величиною (10.51). Саме визначення Z

дозволяє знайти комплексні нормовані корені рівняння (10.68).

З урахуванням виразу (10.51) можна записати:

cos n(u + j v) = cos nu ch nv − j sin nu sh nv = ±

( cos jv = ch v ; sin jv = j sh v ).

Якщо прирівняти дійсні та уявні частини отриманого рівняння, виходить

система:

cos nu ch nv = 0;

sin nu sh nv = m

Перше рівняння системи

виконується

за умови: cos nuk = 0 ,

тобто

nuk = (2k −1)π / 2,

k =1, 2, K, n , або

uk =

2k −1

π,

k =1, 2, K, n.

(10.71)

Якщо застосувати умову (10.71) до другого рівняння, виходить:

sin nuk = ±1, тоді sh nv = m1/ε , звідки

v = m 1 Arsh 1 .

(10.72)

Величина v не має індексу,

оскільки не залежить від k . Підставивши ви-

рази (10.71), (10.72) до формули (10.51), можна записати:

Z k

= uk + j v =

2k −1

π m j

1 Arsh

1 ,

k =1, 2, K, n.

(10.73)

Нормовану частоту Ωk , яка пов’язана з нормованим значенням кореня

( pk = j Ωk ), можна знайти на підставі співвідношення (10.52):	cos Z k = Ωk .
Після множення на j виходить:
j cos Z k = j Ωk = pk .	(10.74)
Позначивши дійсну та уявну частини нормованого значення кореня
pk = −∆k + j Ωk	(10.75)

івраховуючи формулу (10.51), вираз (10.74) можна записати:

−∆k + j Ωk = j cos Z k = j cos(uk + j v) = j cosuk ch v − j2 sin uk sh v , k =1, 2, K, n ,

звідки виходять співвідношення для дійсної та уявної частин pk :

∆k = −sin uk sh v;		k =1, 2, K, n .	(10.76)
	Ωk =cos uk ch v;

З системи (10.76) визначають:

502	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

sin uk = −sh∆vk ; cosuk = chΩkv .

Після піднесення до квадрата та підсумовування виходить рівняння:

∆2k + Ω2k =1, sh2ν ch2ν

з аналізу якого можна зробити висновок, що дійсні та уявні частини нормованих коренів ФЧ ( ∆k , Ωk ) належать до геометричного місця точок, утвореного

еліпсом з малою піввіссю sh v і великою ch v , відповідно (рис.10.7). Знаменник нормованої АКХ (10.68) можна перетворити до вигляду:

	2	= ε2Cn2	2n
V ( p)	2	= ε2Cn2	∏( p − pk ) ,	(10.77)
			k =1

де значення коефіцієнта Cn відповідає виразу (10.55). Нормована ОПФ

має знаменник з удвічі меншою кількістю коренів з від’ємною дійсною частиною, тобто:

V ( p) = 2n−1	n
V ( p) = 2n−1	ε∏( p − pk ) .	(10.78)
	k =1

Добуток у виразі (10.78) за умови двох комплексно-спряжених коренів p1,2 = −∆ ± jΩ є поліномом другого порядку від p з дійсними коефіцієнтами:

( p − p )( p − p	2	) = p2	+ 2∆ p + ∆2	+ Ω2 .	(10.79)
1	2

Загалом ОПФ поліномного ФЧ (10.2), згідно з виразом (10.78), матиме ви-

гляд:

HU ( p) =	kR	,	(10.80)
HU ( p) =	n	,	(10.80)
	∏( p − pk )
	k =1

де коефіцієнт kR = 2n1−1ε , але може мати інше значення, оскільки не змінює форми частотної залежності, а впливає тільки на її рівень.

Im p

AP (Ω)

××

		chν	As
×	0	×
	0	Re p
×	×	shν	A∆
×	×	shν	0	1 Ωs	Ω
			0	1 Ωs	Ω
Рисунок 10.7 – Розташування коренів			Рисунок 10.8 – Частотна залежність
АКХ ФЧ за умови n = 3			ослаблення ФНЧ, що має „сплески” у СЗ
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1					503

Корені pk визначаються зі співвідношення (10.76) з урахуванням формул

(10.71) і (10.72). Аналогічно фільтрам Баттерворта перехід до денормованої ОПФ ФЧ здійснюється на підставі виразу (10.44).

Фільтри Чебишова з малою смугою переходу (ω∆ ÷ωs ) і значною величиною ослаблення As мають ОПФ з великим n . Це пояснюється монотонним

зростанням ослаблення у смузі затримання, тобто As	має	полюс за умови
ω → ∞. Зменшити порядок фільтра, не погіршуючи	його	характеристики

AP (Ω) , дозволяє використання іншої апроксимації, ніж у виразі (10.57), яка на

відміну від поліномних фільтрів, має у смузі затримання декілька полюсів. Наявність полюса поблизу частоти ωs забезпечує різке зростання As у смузі пере-

ходу. Решта полюсів формує „сплески” ослаблення у СЗ на частотах, що відповідають нулям ОПФ. Графік такої частотної залежності ослаблення показаний на рис.10.8.

Частотна залежність ослаблення таких фільтрів замість T 2 (Ω) у виразі (10.57) містить F 2 (Ω) , де F(Ω) − дріб Золотарьова4. Ці фільтри називають

фільтрами з характеристиками Золотарьова або Кауера5, який першим вико-

ристав властивості дробу Золотарьова щодо частотних характеристик фільтрів. Такі фільтри ще мають назву еліптичних фільтрів, оскільки полюси і нулі їхніх ОПФ визначають еліптичні функції (відомості про ці функції можна знайти у спеціальній літературі).

На відміну від ФНЧ, визначення ОПФ фільтрів верхніх частот, смугових та загороджувальних фільтрів передбачає два етапи.

Спочатку від вимог до ослаблення за потужністю ФВЧ, СФ, ЗФ переходять до відповідних вимог ослаблення за потужністю ФНЧ. Перетворення частотних характеристик фільтрів інших типів до частотних характеристик ФНЧ, який має назву фільтра-прототипу (ФП), здійснюють за допомогою перетворення частоти. ОПФ ФП визначають за допомогою розглянутих вище способів. Потім від ОПФ ФП переходять до ОПФ вихідного фільтра. Нижче розглянуто обидва ці етапи для фільтрів різних типів.

10.6 Фільтри верхніх частот

Враховуючи, що корені	ОПФ лежать у лівій півплощині комплексної
площини, комплексна змінна	p має від’ємну дійсну частину: p = −δ± jω,

4Золотарьов Єгор Іванович (1847−1878) − російський математик, ад’юнкт Петербурзької АН. Закінчив Петербурзький ун-т (1867). Працював приват-доцентом (1868), магістром математики, професором (1876). Займався дослідженням питання про мінімуми додатних квадратичних форм при цілих значеннях змінних. У докторській дисертації (1874) виклав теорію подільності цілих алгебраїчних чисел. Розв’язав кілька окремих проблем з теорії найкращого наближення функций.

5Кауер Вільгельм, W. Cauer (1900−1945) – німецький вчений, математик. Працював в області математики, математичної фізики, електротехніки, синтезу електричних кіл.

504	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

відповідно,	~	~ ~
відповідно,	p = −∆ ± jΩ − нормована комплексна змінна, p	= −∆ ± jΩ − нормо-

вана комплексна змінна ФП.

Перетворення СП у СЗ і навпаки, тобто трансформацію частотних діапазонів для ФВЧ, виконують, замінюючи нормовану комплексну змінну ~p ФП на

нормовану комплексну змінну p ФВЧ відповідно до співвідношення:

або

jΩ =

або Ω =

(10.81)

jΩ

Ω

де Ω = ω/ ωгр для ФБ ( ωгр відповідає ослабленню 3 дБ, СП визначається

діапазоном: ωгр ÷∞);

Ω = ω/ ω∆ для

ФЧ

(на

частоті ω∆

ослаблення

AP (Ω) ≤ A∆ , СП: ω∆ ÷∞). Перетворення частотних смуг можливо завдяки пар-

ності функцій HU (Ω) і

AP (Ω) ,

причому їхні значення не змінюються при

заміні частоти Ω на Ω і навпаки, тобто

(Ω) = HU

(Ω) ;

(10.82)

AP (Ω) = AP (Ω).

У табл.10.3 наведені значення p , отримані за формулою (10.81) для ФВЧ,

які відповідають вибраним значенням

ФП означає

ФП (значення p = − j 0

наближення до нуля з боку від’ємних уявних значень

p ).

Таблиця 10.3 – Співвідношення між комплексними нормованими

частотами ФНЧ і ФВЧ

p	− j 0	− j1	− j ∞
~
~	j ∞	j1	j 0
p =1/ p	j ∞	j1	j 0

Перетворення частотного діапазону ФНЧ (ліворуч) у частотний діапазон ФВЧ (праворуч) ілюструє рис.10.9 згідно з даними табл.10.3.

Im p		+j∞	Im p
		−j1	СП ФВЧ
		−j1
		+j0	СЗ ФВЧ
СП ФНЧ	−j0	~	Re p
СП ФНЧ	−j1	Re p	Re p
	−j1
СЗ ФНЧ

−j∞

Рисунок 10.9 – Перетворення частотних діапазонів ФНЧ−ФВЧ


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	505

На рис.10.10 і 10.11 показане трансформування частотних характеристик HU (Ω~ ) і AP (Ω~ ) ФНЧ відповідно у частотні характеристики ФВЧ для ФБ, а на

рис.10.12 і 10.13 – для ФЧ.

	~		1
	HU (Ω)		1
			1/	2
				Π~
				ω
− ∞	−1	0		1
	~	0		~
	−ωгр	0		ωгр
		1	HU (Ω)
		1
	1/	2

Πω

Рисунок 10.10 – Перетворення частотної
характеристики ФНЧ−ФВЧ для ФБ:	0	1
~
HU (Ω) → HU (Ω)	0	ωгр

Ω

∞

Ω

Розрахунок ФВЧ передбачає, що задано значення ослаблення за потужністю на частотах f∆ і fs ( ω∆ і ωs ) (рис.10.11 і 10.13):

A ( f			) ≤ A ;		(10.83)
P	∆			∆	(10.83)
AP ( fs ) ≥ As ,
або для нормованих частот:
A (Ω				) ≤ A ;	(10.84)
P		∆		∆	(10.84)
AP (Ωs ) ≥ As .

Щоб знайти ОПФ ФВЧ Баттерворта, визначають нормовану частоту ФБ Ω =ω/ωгр = f / fгр причому частоті ωгр відповідає ослаблення 3 дБ. Враховую-

чи співвідношення (10.81) між нормованими частотами ФВЧ і ФП, згідно з

рівнянням (10.26) можна обчислити порядок ФВЧ Баттерворта:

n* = lg(100,1As −1) −lg(100,1A∆ −1) .	(10.85)
2lg(Ω∆ / Ωs )

У знаменнику рівняння (10.26) замість відношення частот Ω% s / Ω% ∆ для ФП стоїть відношення нормованих частот ФВЧ Ω∆ / Ωs , яке можна замінити

506	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

відношенням ω∆ /ωs . Отримане за формулою (10.85) дробове значення порядку фільтра n слід округлити до найближчого більшого цілого значення:

n ≥ n .

(10.86)

Оскільки

порядки

ФВЧ

ФНЧ збігаються, враховуючи вирази

(10.36)−(10.38), можна визначити нормований поліном Гурвіца та ОПФ ФП:

(10.87)

HU ( p)

V ( p)

Визначення нормованої ОПФ ФВЧ потребує попереднього розрахунку

ωгр. Згідно з виразами (10.81)

ωгр

;

(10.88)

~ ∆ =

ω∆

~ s =

ωs

~ ~

ωгр

ω∆, ωs , ωгр

− частоти ФВЧ.

де ω∆, ωs , ωгр − частоти ФП;

AP (Ω)

Π~

3 дБ

A∆

− ∞

−1

− Ωs

−Ω∆

Ω∆

Ωs

Ω

−ωs

−ω∆

ω∆

ωгр

ωs

AP (Ω)

−ωгр

3 дБ

Πω

Рисунок 10.11 – Перетворення частотної

A∆

∞

характеристики ФНЧ−ФВЧ для ФБ:

Ωs

Ω∆

Ω

AP (Ω) → AP (Ω)

ωs

ωгр

ω∆

Тоді гранична частота ФВЧ, виходячи з формули (10.88), визначається як

ωгр =ω∆ω%∆ /ω%гр,

а з урахуванням виразу (10.25)

ω	=ω	∆	(100,1A∆ −1)1/ 2n* =ω	s	(100,1As −1)1/ 2n*	,	(10.89)
гр		∆		s

де n обчислюють за формулою (10.85).

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

507

Співвідношення (10.81) дозволяє встановити зв’язок між нормованою частотою ФП ~p і денормованою частотою p ФВЧ:

ωгр

p = p

jΩ

Ω=ω / ω

jω

p .

(10.90)

гр

Тоді денормовану ОПФ ФВЧ можна отримати за формулою (10.87):

де pk

HU ( p) =		1	,
HU ( p) =	n	( p − pk )	,
	∏	( p − pk )
		% %
	k =1		p=ωгр / p
			%

− нормовані значення коренів ФП.

HU (Ω) 1

			Π~
			ω
− ∞	−1	0	1
	~	0	~
	−ωгр	0	ωгр

HU (Ω)

(10.91)

Ω

Πω

Рисунок 10.12 – Перетворення частотної			∞
характеристики ФНЧ−ФВЧ для ФЧ:	0	1	Ω
~
HU (Ω) → HU (Ω)	0	ωгр	ω

Визначення ОПФ ФВЧ з характеристиками Чебишова здійснюють на підставі співвідношення (10.84), причому частоти нормують за формулою

(10.49):

Ω =	ω	=	f	; Ω∆ =1;	Ωs =	ωs	.	(10.92)

	ω∆		f∆			ω∆

Коефіцієнт нерівномірності ослаблення у смузі пропускання визначається за формулою (10.66), яка прийнятна для ФЧ будь-якого типу. Формула (10.67)

508	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

дозволяє знайти порядок n ФНЧ, тобто ФП. Щоб скористатись нею, необхідно перейти до нормованої частоти Ω~ s ФП згідно з виразом (10.81): Ω% s =1/ Ωs . До

речі, порядки ФВЧ і ФП збігаються, а знайдене n округлюють до більшого цілого значення.

Для отриманого значення n порядку ФП, використовуючи співвідношення (10.75), (10.76), (10.78), записують нормований поліном

~	n−1	n	~	~
Гурвіца, тобто знаменник ОПФ ФП: V ( p) = 2		ε∏( p		− pk ) , і саму ОПФ ФП
		k =1

згідно з виразом (10.80). Денормована ОПФ ФВЧ визначається з урахуванням формул (10.90) і (10.49):

HU ( p) =		kR	,
HU ( p) =	n	( p − pk )	,
	∏	( p − pk )
		% %
	k =1		p=ω∆ / p
			%

де kR =1/(2n−1ε) , але може мати довільне значення.

AP (Ω)

Π~

− ∞	~	−1	1	~
	−Ωs	−1	1	Ωs
	~	~	~	~
	− ωs − ω∆		ω∆	ωs

AP (Ω)

Рисунок 10.13 – Перетворення	A∆
частотної характеристики		~
ФНЧ−ФВЧ для ФЧ:	0	~	1
~	0	Ωs	1
AP (Ω) → AP (Ω)	0	ωs ω∆
	0	ωs ω∆

(10.93)

A∆

Ω

Πω

∞

Ω

Приклад 10.3. Визначити ОПФ ФВЧ Чебишова, якщо на частоті 5000 рад/с ослаблення за потужністю AP (ω) не має перевищувати 0,97 дБ, а на частоті 2500 рад/с

– бути меншим 22 дБ.

Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1

509

Розв’язання. Обчислимо нормовану частоту ФП:

~	1		ω∆		f∆		5000	= 2 .
Ωs =		=		=		=
	Ωs		ωs		fs		2500

Коефіцієнт нерівномірності ослаблення у СП і порядок ФП знайдемо за форму-

лами (10.66) і (10.67), відповідно: ε = 100,1 0,97 −1 = 0,500259 ;

n ≥	Arch(	100,1As	−1 /ε)	=	Arch( 100,1 22 −1 / 0,500259)	= 2,972804 .
n ≥		%		=	Arch 2	= 2,972804 .
		Arch Ωs			Arch 2

Візьмемо n = 3 , тоді коефіцієнт, що впливає на рівень ОПФ, kR =1/(2n−1ε) =1/ 4ε 0,5 .

Визначення цього коефіцієнта не потребує високої точності.

Щоб знайти корені ФП, спочатку за формулою (10.72) обчислимо значення v = m0,481057 . Дійсні та уявні частини нормованих коренів ФП розрахуємо, виходя-

чи з виразів (10.71), (10.76):

~	= −sin u		sh(±v) ;
∆		k		k =1, 2, 3.
~k
Ωk =cosuk ch v ,

Значення ∆ вибираємо такими:

k =1: u1 = π/ 6 ;

= −0,249914 + j0,968179;

∆1 = 0,249914

; Ω1

= 0,968179; p1

k = 2 : u1 = π/ 2 ;

= 0 ;

= −0,5;

∆2 = 0,5;

Ω2

k = 3;

u1 = 5π/ 6

; ∆3

= 0,249914 ; Ω3 = −0,968179;

p3= −0,249914 −j0,968179 .

Для всіх k значення ν − від’ємнє.

При

k =1, 3

маємо комплексно-спряжені корені. У цьому випадку доцільно

скористатись виразом (10.79), тоді для ФП можна записати:

~ ~ ~ ~

~ 2

= 0,499827

= 0,999827.

( p − p )( p − p ) = p

+ 2∆

p + ∆ +Ω

; 2∆

; ∆ +Ω

~ 2

Щоб спростити запис, вважатимемо, що 2 ∆1

0,5; ∆1

+Ω1

1. Загалом об-

числення коренів слід виконувати з точністю не менше як до шостого знака включно, оскільки це впливає на можливість фізичної реалізації ОПФ.

Нормовані значення ФП дозволяють визначити нормований поліном Гурвіца і

нормовану ОПФ ФП згідно з виразами (10.78) і (10.80), відповідно:

~ ~ ~2

~ 2

V ( p) = 4ε( p

− p2 )( p

+ 2∆1

+ ∆1

+Ω1 ) ;

HU ( p) =

0,5

% 2

( p − p2 )( p

+ 2∆1 p + ∆1 +Ω1 )

( p + 0,5)( p

+ 0,5 p +1)

% % %

Нормовану ОПФ ФП перетворимо у денормовану ОПФ ФВЧ, використовуючи співвідношення (10.93):

HU ( p)=

0,5

0,5 p3

(0,5 p +ω∆)( p

( p +0,5)( p

+ 0,5 p +1)

p=ω∆

/ p

0,5ω∆ p +ω∆)

За умови ω∆ = 5 103 рад/с вираз ОПФ ФВЧ Чебишова має вигляд:

( p) =

( p +104 )( p2

+ 2,5 103

p + 25 106 )

510	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 5551 52 53 54 55 > Следующая >>>