1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

9.11 Комплексні функції та частотні характеристики довгих ліній

9.11.1 Види КФ ліній та основні співвідношення

Комплексні передатні функції (КПФ) лінії можна ввести, якщо вважати лінію чотириполюсником (рис.9.32), у якого діями є комплексні амплітуди U m1

або I m1 , а відгуками – комплексні амплітуди U m2 або I m2 . Для ДЛ використовують такі основні види КПФ:

1)комплексний коефіцієнт передачі за напругою H U (ω) =U m2 /U m1 ;

2)комплексний коефіцієнт передачі за струмом H I (ω) = I m2 / I m1 .

Розглядаючи лінію як двополюсник, застосовують комплексні вхідні функції (КВФ):

3)комплексний вхідний опір Z вх(ω) =U m1 / I m1 ;

4)комплексна вхідна провідність Y вх(ω) = I m1 /U m1 .

Аналізуючи комплексні функції (КФ) лінії – КПФ і КВФ, вважають відомими основні параметри лінії: довжину l ; хвильовий опір Z хв (реальна

Рисунок 9.32 – Схема для аналізу КФ і частотних характеристик ДЛ

Щоб вивести співвідношення, які описують КФ, використовують системи рівнянь (див. табл.9.4 і 9.6):

1) для реальної лінії

2) для реальної лінії α(ω) , якщо враховувати частотні залежності первинних параметрів R1 і (або) G1

З огляду на співвідношення (9.137) і (9.138), вираз βl , який входить до аргументів гіперболічних і тригонометричних функцій рівнянь (9.139) і (9.136), можна записати у вигляді:

де τз = l / v – затримка синусоїдного коливання в лінії.

Вирази для основних КФ ДЛ, отримані із застосуванням рівнянь (9.135), (9.136) і (9.139), наведені в табл.9.18.

Таблиця 9.18 – Комплексні функції довгих ліній

Как видно з формул (табл.9.18), КФ залежать не тільки від параметрів лінії, але й від опору навантаження. У практиці найважливішими є такі режими: навантаження лінії на хвильовий опір (режим узгодження); коротке замикання вихідних затискачів ДЛ і варіант Rн << Rхв (Rн′ <<1) ; холостий хід і варіант

Rн >> Rхв (Rн′ >>1) ; навантажування лінії на реактивний опір (L чи C).

Головну увагу при цьому надають ідеальним ДЛ і ДЛМВ, у яких ослаблення αl<<1.

9.11.2 КФ і частотні характеристики узгодженої лінії

У режимі узгодження Z′н =1, тому КПФ H U (ω) і H I (ω) збігаються, а

вхідні опори і провідності дорівнюють хвильовим. Перетворені вирази для КПФ, КВФ, АЧХ і ФЧХ наведені у табл.9.19, а графіки – на рис.9.33.

Графіки АЧХ (рис.9.33, а) відповідають ідеальній лінії ( α = 0), а також – реальним лініям з постійним коефіцієнтом ослабления ( α = const ) і з коефіцієнтом ослаблення, який змінюється за частотою за типовим законом

α(ω) = α0 (1+ k ω) .

ФЧХ (рис.9.33, б) узгоджених ліній змінюються за лінійним законом, що забезпечує однаковий час затримки τз синусоїдних коливань з різними часто-

тами в лінії:

u2 (t) =U m2 cos(ωt −ωτз) =U m2 cos[ω(t −τз)] .

Таблиця9.19 – КФ, АЧХіФЧХузгодженихДЛ

0

ω

−ω1τз

б

Рисунок 9.33 – Графіки ЧХ узгоджених ліній: а – АЧХ; б – ФЧХ

Незмінність АЧХ ідеальної та реальної лінії з α = const разом з лінійністю ФЧХ обумовлюють практичне застосування режиму узгодження, завдяки неспотвореній передачі сигналів у лінії. Іноді припустимою є наявність спотворень сигналів і у випадку α(ω).

9.11.3КФ і частотні характеристики лінії при короткому замиканні вихідних затискачів і при Rн << Rхв

Оскільки при короткому замиканні лінії (рис.9.13, а) Z′н = 0, КПФ H U (ω) (див. табл.9.18) позбавлена сенсу. У цьому випадку розглядають КПФ H I (ω) , а також КВФ Z вх(ω) , причому частотні характеристики (ЧХ) замкненої

на кінці лінії подібні ЧХ паралельного резонансного контуру.

Здобуті після підстановки Z′н = 0 у формули (табл.9.18) точні співвідношення для H I (ω) , Z вх(ω) , АЧХ і ФЧХ ідеальної ДЛ, а також при-

близні вирази тих самих КФ, АЧХ і ФЧХ для ДЛМВ ( αl <<1) зведено до табл.9.20.

Графіки ЧХ ідеальної ДЛ і ДЛМВ, побудовані за формулами (табл.9.20), зображено відповідно на рис.9.34 і 9.35.

Аналіз АЧХ (рис.9.34, а, в і 9.35, а, в) показує, що короткозамкнені лінії є багаторезонансними (багатохвильовими) системами з кратними значеннями резонансних частот:

0

ω

− π/ 2

г

Рисунок 9.34 – ЧХ замкненої на кінці ІДЛ:

а, б – АЧХ і ФЧХ H I (ω) ; в, г – АЧХ і ФЧХ Z вх(ω)

Для частоти першого резонанса ωрез1 співвідношення між довжиною лінії та довжиною хвилі становлять:

З формули (9.141) виходить, що на резонансних частотах довжина короткозамкненої лінії кратна чверті довжини хвилі резонансної частоти.

Рисунок 9.35 – ЧХ замкненої на кінці ДЛМВ (αl = 0,1): а, б – АЧХ і ФЧХ H I (ω) ; в, г – АЧХ і ФЧХ Z вх(ω)

На резонансних частотах ωрез n АЧХ коефіцієнта передачі за струмом і

повний опір мають максимуми (рис.9.34, а, в; і 9.35, а, в). В ідеальної ДЛ ці екстремуми прямують до нескінченності, а у ДЛМВ становлять:

Аналогічні характеристики для повного опору та струму в індуктивній вітці мають паралельні резонансні контури. Схожість ЧХ лінії та контуру підтверджується також виглядом ФЧХ (рис.9.34, б, г і 9.35, б, г).

Визначити параметри еквівалентного паралельного контуру можна, прирівнявши його смугу пропускання і значення еквівалентного резонансного опору аналогічним параметрам лінії на частоті ω .

Щоб оцінити смугу пропускання АЧХ H I (ω) , використовують абсолютну

Завдяки періодичності тригонометричних функцій, які входять у вирази для АЧХ ДЛМВ, значення СП 2∆ωп однакові для всіх резонансних частот. То-

му добротності та характеристичні опори еквівалентних контурів на цих частотах становлять:

змінювання Z вх (ω) і ϕZ (ω) (рис.9.34, в; г; і 9.35, в, г) подібний характеристи-

кам послідовного резонансного контуру. На цих частотах, як і в послідовному контурі, опір ІДЛ дорівнює нулю, а опір ДЛМВ мінімальний і становить Rхвαl .

Характеристики H I (ω) і ϕI (ω) не властиві послідовному контуру, оскільки

дією і відгуком для нього є напруги.

Слід зазначити, що ЧХ ліній та одиночних контурів аналогічні тільки поблизу резонансних частот (див. рис.9.34, в і 9.35, в, де АЧХ контурів показані

18 Зв’язок між ρе1 і Rхв непрямо підтверджується однотипністю вихідних розрахун-

кових співвідношень для цих вторинних параметрів: Rхв = L1 / C1 ; ρ = L / C .

пунктиром). При значних розстройках ( ω >> ωрез1 ) характеристики контуру і

лінії суттєво відрізняються і, насамперед, тим, що одиночний контур має тільки одну, а лінії – теоретично нескінченний ряд резонансних частот.

Для аналізу КФ і ЧХ, коли ослаблення в лінії залежить від частоти за відомим законом α(ω) , причому α(ω)l <<1, слушні співвідношення з табл.9.20,

в яких слід замінити α на α(ω) . Графіки АЧХ (рис.9.36) показують, що при

цьому зберігаються багатократні резонанси, однак максимуми АЧХ зменшуються, а СП розширюються із збільшенням номера резонансної частоти.

Аналогічно співвідношенням (9.145) і (9.146) можна ввести приблизні оцінки добротностей еквівалентних контурів для резонансних частот:

Rн << Rхв, наближаються до режиму короткого замикання лінії. Цей висновок

підтверджують аналітичні вирази (табл.9.21), здобуті внаслідок підстановки значення Rн′ <<1 у загальні вирази (табл.9.18) для H I (ω) і Z вх(ω) .

1

Rхвα(ω)l

Рисунок 9.36 – АЧХ замкненої на кінці лінії з ослабленням, яке залежить від частоти за законом α(ω) = α0 (1+ k ω) : а – АЧХ H I (ω) ; б – АЧХ Zвх (ω)

Порівняння виразів (табл.9.20 і 9.21) показує, що за умови Rн << Rхв КФ,

АЧХ і ФЧХ ідеальної ДЛ та ДЛМВ збігаються з аналогічними характеристиками короткозамкненої ДЛМВ. Кількісна різниця є тільки у тому, що замість безрозмірної величини αl (входить у формули табл.9.20) у виразах для ідеальної та реальної ліній, навантажених на Rн << Rхв, записано відповідно Rн′ і (αl + Rн′ ) .

Отже, КФ, АЧХ і ФЧХ лінії з малими втратами і Rн << Rхв, з одного боку, відповідають характеристикам лінії з еквівалентними втратами αеl = αl + Rн′ , а, з іншого боку, – ідеальній лінії з еквівалентним навантаженням Rн′е = αl + Rн′ . Тому графіки ЧХ лінії, навантаженої на Rн << Rхв, аналогічні графікам АЧХ і ФЧХ замкненої на кінці ДЛМВ (рис.9.35).

Таблиця 9.21 – КФ, АЧХ і ФЧХ лінії при Rн << Rхв ( Rн′ <<1)

ності КПФ доцільно розглядати H U (ω) , а з КВФ – Y вх(ω) .

Отримані в результаті підстановки значення Z′н → ∞ (Y ′н = 0) до формул (табл.9.18) точні для ІДЛ та приблизні для ДЛМВ співвідношення для HU ( jω) ,

Отже, характеристики ДЛ із замкненими і розімкненими вихідними за-

тискачами є дуальними. Це дозволяє використовувати для аналізу режиму холостого ходу ЧХ лінії в режимі короткого замикання (рис.9.34–9.36).

З аналізу АЧХ і ФЧХ розімкненої лінії як характеристик, дуальних зображеним на рис.9.35 і 9.36, виходять такі висновки:

1) подібно замкненій, розімкнена лінія має резонанси з кратними часто-

тами;

2) поблизу частот ωрез n (9.140) ЧХ аналогічні характеристикам послідовного резонансного контуру; на цих частотах АЧХ HU (ω) і повна провідність ІДЛ прямують до нескінченності, а для ДЛМВ становлять:

H (ωрез n ) =1/ αl ; Y (ωрез n ) = Gхв / αl ;

3) на резонансних частотах ωрез n довжина лінії кратна чверті довжини

хвилі резонансної частоти; 4) щоб розрахувати вторинні параметри еквівалентних послідовних кон-