призводить до схем (рис.9.4 а, б), аналіз яких із застосуванням законів Кірхгофа |
і дозволяє отримати диференціальні рівняння ДЛ. |
|
|
L1∆x |
∂i(t, x) |
R ∆xi(t,x) |
|
|
|
∂t |
|
1 |
|
|
i(t, x) |
L1∆x |
|
R1∆x |
|
u(t, x) |
К |
|
C1∆x |
G1∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t, x + ∆x) |
x |
|
|
∆x = −∆y |
y |
|
|
|
|
а |
|
|
|
i(t, x) |
1 |
R ∆x |
L1∆x |
i(t, x+∆x) |
|
|
|
1 |
|
|
G1∆x u(t,x) |
|
|
C1∆x |
∂u(t,x) |
|
u(t, x) |
|
|
|
|
∂t |
|
G1∆x |
|
|
C1∆x |
|
|
|
|
|
x |
|
∆x = −∆y |
|
y |
|
|
|
|
б |
|
|
Рисунок 9.4 – До виведення диференціальних рівнянь довгої лінії |
Рівняння за другим законом Кірхгофа для вибраних напрямів обходу кон-
туру К і напрямів напруг для схеми (рис.9.4, а) має вигляд: |
|
|
u(t, x + ∆x) −u(t, x) + R ∆x i(t, x) + L ∆x |
∂i(t, x) |
= 0 , |
(9.4) |
|
1 |
1 |
∂t |
|
|
|
|
|
|
де R ∆x i(t, x) – напруга на елементі ∆R ; |
L ∆x ∂i(t, x) |
– напруга на еле- |
1 |
1 |
∂t |
|
|
|
|
|
|
менті ∆L .
У рівнянні (9.4) і подальших виразах застосовують частинні похідні, оскільки струм і напруга є функціями двох змінних t, x.
Внаслідок перенесення доданків зі струмом у праву частину рівності (9.4)
і ділення лівої та правої частин на ∆x виходить рівняння |
|
u(t, x + ∆x) −u(t, x) = −R i(t, x) − L |
∂i(t, x) |
, |
∆x |
1 |
1 |
∂t |
|
яке після граничного переходу ∆x →0 |
перетворюється |
до одного з дифе- |
ренціальних рівнянь ДЛ:
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
391 |
|
lim |
u(t, x + ∆x) −u(t, x) |
= ∂u(t, x) |
= −R i(t, x) − L |
∂i(t, x) . |
(9.5) |
|
∆x→0 |
|
∆x |
∂x |
1 |
|
1 |
|
∂t |
|
|
Рівняння, складене за першим законом Кірхгофа для вузла 1 у другій з |
|
розглянутих схем (рис.9.4, б), становить: |
|
|
∂u(t, x) |
|
|
|
|
i(t, x + ∆x) −i(t, x) +G ∆x u(t, x) +C ∆x |
= 0 , |
(9.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
∂u(t, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
де G ∆x u(t, x) ; C ∆x |
– |
відповідно струми в паралельних вітках з |
|
|
|
1 |
1 |
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
елементами ∆G та ∆C .
Перетворення рівності (9.6), подібні тим, які застосовано вище до виразу
(9.4), дозволяють отримати друге диференціальне рівняння ДЛ: |
|
lim |
i(t, x + ∆x) −i(t, x) |
= |
∂i(t, x) |
= −G u(t, x) −C |
∂u(t, x) . |
(9.7) |
∆x→0 |
∆x |
|
∂x |
1 |
1 |
∂t |
|
Диференціальні рівняння (9.5) і (9.7) можна записати також у функції координати y = l − x (рис.9.1, г), яку відлічують від навантаження (кінця) лінії.
Оскільки ∆y = −∆x ; ∂y = −∂x , рівняння матимуть вигляд:
∂u(t, y) = R i(t, y) + L |
∂i(t, y) |
; |
∂y |
1 |
1 |
∂t |
|
∂i(t, y) |
=G u(t, y) + C |
∂u(t, y) . |
∂y |
1 |
1 |
∂t |
|
Використовують також спрощену форму запису рівнянь ДЛ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
∂u |
= R i + L ∂i |
; − |
|
∂i |
= G u +C ∂u |
; |
∂x |
|
∂x |
|
1 |
1 ∂t |
|
|
1 |
1 ∂t |
|
|
∂u |
= R i |
+ L ∂i |
; |
∂i |
|
=G u + C ∂u . |
|
∂y |
∂y |
|
1 |
1 ∂t |
|
1 |
1 ∂t |
|
(9.8)
(9.9)
(9.10)
(9.11)
Рівняння (9.10) і (9.11) називають також телеграфними, оскільки вони були отримані під час створення перших ліній телеграфного зв’язку.
Від цих рівнянь, кожне з яких містить струм і напругу, можна перейти до рівнянь відносно напруги чи струму. Наприклад, щоб отримати вираз відносно напруги, у системі (9.10) слід продиференціювати перше рівняння за x, а друге
– за t, а потім виключити струм у першому рівнянні:
− |
∂2u |
= R1 |
∂i |
+ L1 |
∂2i |
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂t∂x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂2u |
∂2u |
|
∂u |
|
|
∂2i |
|
|
|
∂2u |
|
+(R1C1 +G1L1 ) |
|
− |
|
|
|
= G1 ∂t |
+C1 ∂ 2 |
; |
|
∂ 2 |
= L1C1 ∂ 2 |
∂t |
+ R1G1u . (9.12) |
∂x∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
x |
t |
|
|
|
|
− |
∂i |
|
= G u +C ∂u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 ∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно складається рівняння відносно струму:
392 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
− |
|
∂2u |
= R1 |
∂i |
+ L1 |
∂2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂t |
∂t |
∂t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2i |
|
∂2i |
|
∂i |
|
− |
∂2i |
= G |
∂u |
+C |
|
|
∂2u |
|
|
|
= L C |
+(R C +G L ) |
+ R G i. (9.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
∂t |
|
|
|
1 ∂x |
1 ∂t∂x |
|
|
1 1 ∂t 2 |
1 1 1 1 |
1 1 |
|
|
− |
∂u |
= R i + L |
∂i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
1 |
1 ∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (9.12) і (9.13) мають од-
накову структуру і називаються одновимірними хвильовими рівняннями.
Розв’язання диференціальних рівнянь у частинних похідних (9.12) і (9.13) для реальної лінії та довільного джерела є досить складним. Простіше розв’язувати ці рівняння для довільного джерела в ідеальній ДЛ (ІДЛ) – лінії без втрат ( R1 = 0; G1 = 0 ) або для синусоїдного джерела в реальній лінії (див.
підрозд. 9.4). Для ІДЛ хвильові рівняння мають вигляд:
|
∂2u |
= L C |
∂2u |
; |
(9.14) |
|
∂x2 |
∂t 2 |
|
1 1 |
|
|
|
∂2i |
= L C |
∂2i |
|
. |
(9.15) |
|
∂x2 |
∂t 2 |
|
1 1 |
|
|
Диференціальні рівняння (9.14) і (9.15) вперше були досліджені Ейлером, Бернуллі7 і Даламбером8 стосовно задачі математичної фізики, пов’язаної з коливаннями пружної струни. Розв’язати ці рівняння можна за допомогою рядів Фур’є заміною змінних (метод Даламбера) або операторним методом.
Розв’язуючи рівняння операторним методом, замість шуканих функцій u(t, x) та i(t, x) використовують їхні зображення за Лапласом за змінною t :
U (x, p) = L [u(t, x)]; I (x, p) = L [i(t, x)]. |
(9.16) |
7Бернуллі Даніїл, Bernoulli (1700–1782) – видатний математик і фізик, представник відомої династії швейцарських вчених. Працював у Петербурзькій АН (1725–1733). Йому належать важливі праці з алгебри, теорії ймовірностей, численню нескінченно малих, теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь. Уперше увів до теорії помилок нормальний розподіл і поняття випадкових і систематичних похибок. В області математичної фізики розв’язав (1755) за допомогою тригонометричних рядів диференціальне рівняння коливання струни та вивів основне рівняння гідро- і газової динаміки (монографія «Гідродинаміка», 1738).
8Даламбер Жан Лерон, D’Alembert (1717–1783) – французький математик і філософ, член Паризької і Петербурзької АН. Вперше довів основну теорему алгебри (лема Даламбера). Сформулював загальні правила складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, зводячи задачі динаміки до статики (принцип Даламбера). Застосував цей принцип до гідродинаміки. Розв’язав диференціальне рівняння, яке описує коливання струни. Розглядав час як четвертий вимір. Деякі праці, присвячені філософії, астрономії, естетиці та музиці, опубліковані в «Енциклопедії наук, мистецтв і ремесел», яку Даламбер готував разом з Д. Дідро (1751–1757).
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
393 |
Використовуючи властивості перетворення Лапласа і вважаючи початкові умови нульовими (i(x,0) = 0 ;u(x,0) = 0 ), рівняння (9.14), (9.15) для зображень
(9.16) можна подати у вигляді:
d 2U (x, p) |
− L C p2U (x, p) = 0 ; |
(9.17) |
|
dx2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
d 2 I (x, p) − L C p2 I (x, p) = 0 . |
(9.18) |
dx2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
Рівняння (9.17) і (9.18) є лінійними однорідними диференціальними рівняннями тільки за змінною x (диференціювання за р не виконується). З огляду на це, похідні за x є не частинними, а звичайними.
Оскільки рівняння (9.17) і (9.18) є однотипними, можна обмежитися аналізом одного из них. Наприклад, загальний розв’язок рівняння (9.17). такий:
U (x, p) =Uпад( p)e− px L1C1 +Uвід( p)e px L1C1 , |
(9.19) |
де Uпад( p), Uвід( p) – сталі інтегрування, які відповідають фізичному значенню оригіналів цих доданків розв’язку – падаючій та відбитій хвилям; m p L1C1 – корені характеристичного рівняння, складеного за виразом (9.18).
Щоб визначити сталі Uпад( p), Uвід( p) , використовують граничні значення зображення U (x, p) і його першої похідної за x при x = 0 .
Якщо позначити оригінали сталих інтегрування uпад(t), uвід(t) і застосу-
вати теорему запізнення перетворення Лапласа (див.табл.8.2, п.4), можна подати оригінал зображення (9.19) як
u(t, x) = uпад(t − x
L1C1 ) +uвід(t + x 
L1C1 ) = uпад(ξ) +uвід(η), (9.20)
де v =1/ L1C1 – вимірювана швидкість поширення хвиль, м/с; ξ = t − x / v , η = t + x / v – узагальнені змінні.
Аналіз розв’язку (9.20) дозволяє зробити такі висновки:
1) кожний з доданків розв’язку (9.20) є процесом, який повторює свої значення через певний час в іншому перерізі, що характерно для хвилеподібних процесів;
2) складова розв’язку uпад(ξ)= uпад(t − x / v) є хвилею, яка поширюється від джерела до навантаження зі швидкістю v , що обумовлює назву падаюча хвиля;
3) хвиля uвід(η)= uвід(t + x / v) пересувається від навантаження до джерела зі швидкістю v ; ця хвиля називається відбитою, оскільки фізичною причиною
їїпояви є відбиття від навантаження;
4)у лінії без втрат падаюча та відбита хвилі пересуваються вздовж лінії, не змінюючи форми та інтенсивності.
Струм i(t, x) можна записати через напругу u(t, x) , використовуючи пер-
ше рівняння системи (9.10).
394 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
Для ідеальної лінії це рівняння має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
∂u(t, x) |
= |
L |
∂i(t, x) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
1 |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
du (ξ) |
|
d |
ξ |
|
1 |
|
du (η) |
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u(t, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
від |
d |
i(t, x) = − |
|
|
∫ |
|
|
∂x |
|
|
dt |
= − |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dxdt − |
|
|
∫ |
|
dx dt = |
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
∂ξ |
|
L |
|
dη |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
du |
пад |
(ξ) |
|
|
|
1 |
|
du |
|
|
|
|
(η) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
dt − |
∫ |
|
|
від |
|
|
dt = |
∫duпад(ξ) − |
∫duвід(η) = |
L v |
|
dξ |
|
|
L v |
|
|
dη |
|
|
L v |
L v |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
uпад(ξ) |
− |
uвід(η) |
|
= i |
|
|
(t − x / v)−i |
(t + x / v), |
(9.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rхв |
|
|
|
Rхв |
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
від |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uвід(t + x / v) |
|
|
де i |
|
(t − x / v)= |
uпад(t − x / v) |
; |
|
i |
|
|
(t + x / v)= |
– |
відповідно па- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rхв |
|
|
|
|
|
|
|
від |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rхв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
даюча та відбита хвилі струму; |
Rхв = L1v = |
L1 / C1 |
– хвильовий опір. |
Співвідношення для струму (9.21) дозволяє зробити висновок, що в ідеальній лінії:
1) струм i(t, x) , подібно напрузі u(t, x) , є сумою падаючої та відбитої
хвиль; 2) відповідні хвилі напруги та струму пов’язані між собою за законом
Ома через хвильовий опір Rхв ; оскільки Rхв має активний характер, хвилі на-
пруги і струму одного й того ж типів збігаються за формою; 3) від’ємний знак відбитої хвилі струму показує, що фактичний напрям
поширення енергії відбитої хвилі – від навантаження лінії до вхідного джерела. Отже, розв’язок одновимірних хвильових рівнянь (9.14) і (9.15) для лінії без втрат показує, що в лінії існує інтерференція двох зустрічних хвиль – па-
даючої та відбитої, причому це стосується не тільки напруги і струму, але й енергії.
Швидкість пересування хвиль v і хвильовий опір Rхв є вторинними параметрами ідеальних ліній:
v =1/ |
L1C1 ; |
(9.22) |
Rхв = |
L1 / C1 . |
(9.23) |
У табл.9.3 наведені формули для вторинних параметрів ідеальних ліній основних типів. Формули отримані на підставі співвідношень (9.22) і (9.23), а також наведених у табл.9.1 виразів для L1 і С1 типових конструкцій ліній пере-
дачі. У формулах використані ті ж позначення геометричних розмірів ліній передачі, що й на рис.9.2. Відносна магнітна проникність провідників прийнята µ =1, оскільки провідники та ізоляція ідеальні ( R1 = 0 ; G1 = 0 ).
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
395 |
Таблиця 9.3 – Вторинні параметри типових ліній без втрат |
|
|
|
Лінія |
|
ν, м/с |
|
|
|
|
|
|
Rхв , |
Ом |
|
|
Симетрична дво- |
1 |
=3 108 = с |
1 ln |
D − d |
|
µ0 |
=120 ln |
D − d |
провідна повітряна |
|
лінія (рис.9.2, а) |
µ0ε0 |
|
|
|
|
π |
|
d |
|
|
ε |
0 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коаксіальний |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln D |
|
µ0 |
= 60 ln |
D |
кабель (рис.9.2, б) |
1 |
|
3 |
108 |
|
с |
|
|
|
= |
= |
2π |
|
d εε0 |
ε |
|
d |
Стрічкова лінія |
µ0εε0 |
|
ε |
ε |
|
|
h |
|
µ |
0 |
= |
120π h |
|
|
(рис.9.2, в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
ε d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εε0 |
|
|
|
Приклад 9.2. Розрахувати швидкість пересування хвиль і хвильовий опір симетричної ідеальної двопровідної повітряної лінії (рис.9.2, а) з розмірами, наведеними у прикладі 9.1.
Розв’язання. Швидкість хвилі в ідеальній двопровідній повітряній лінії дорівнює швидкості світла с, а хвильовий опір залежить від геометричних розмірів лінії (див. табл.9.3). Розрахуємо хвильовий опір за заданими розмірами:
R |
=120 ln |
D − d |
=120 ln |
10−2 −10−3 |
=263,67 Ом. |
хв |
|
d |
|
10−3 |
|
|
|
|
|
Перевіримо результат за первинними параметрами (див. приклад 9.1):
v = |
1 |
= |
1 |
= 2,984 108 м/c; |
|
L1C1 |
8,886 10−7 1,264 10−11 |
|
R |
L |
8,886 10−7 |
= 265,14 Ом. |
= 1 = |
|
хв |
C1 |
1,264 10−11 |
|
|
|
Результати практично збігаються. Різниця пов’язана з тим, що у прикладі 9.1 при визначенні L1 і С1 враховано відносну магнітну проникність латуні µ =1,011 .
9.4 Аналіз усталеного синусоїдного режиму довгої лінії
При синусоїдній дії з частотою ω усталений струм і напруга у будь-якому перерізі ДЛ змінюються у часі за синусоїдним законом з тією ж частотою ω. Загалом, у кожному перерізі лінії амплітуди та початкові фази цих коливань різні. Якщо відраховувати координату від входу лінії, миттєві значення струму і
напруги мають вигляд: |
|
i(t, x) = Im (x)cos[ωt + ψi (x)]= Re[I m (x)e jωt ]; |
(9.24) |
u(t, x) =U m (x)cos[ωt + ψu (x)]= Re[U |
m (x)e jωt ] , |
(9.25) |
де I m (x) = Im (x)e jψi (x) ; U m (x) =U m (x)e jψu (x) – комплексні |
амплітуди |
відповідно струму і напруги у перерізі лінії з координатою x.
Як правило, відомі первинні параметри лінії R1, G1, L1, C1 , довжина l та
396 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
опір навантаження Z н. Крім цього, задаються значення струму і напруги на вході (затискачі 1-1′на рис.9.5):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t,0) = u (t) =U |
|
|
cos(ωt + ψ |
|
|
|
) = Re[U |
|
e jωt ] ; |
(9.26) |
|
|
1 |
|
|
|
m1 |
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
i(t,0) = i (t) = I |
m1 |
cos(ωt + ψ |
i1 |
) = Re[I |
|
|
|
e jωt ] |
(9.27) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
або на виході лінії (затискачі 2-2′на рис.9.5): |
|
|
|
|
|
|
|
m2e jωt ]; |
|
|
|
u(t,l) = u2 (t) =U m2 cos(ωt + ψu 2 ) = Re[U |
(9.28) |
|
|
|
i(t,l) = i (t) = I |
m2 |
cos(ωt + ψ |
i2 |
) = Re[I |
m2 |
e jωt ]. |
(9.29) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підстановка миттєвих значень струму і напруги (9.24), (9.25) у дифе- |
ренціальні рівняння (9.10) призводить їх до вигляду (у комплексній формі): |
− Re |
dU |
m (x) |
e jωt |
= R1 Re[I m (x)e jωt ]+ L1 Re[jωI m (x)e jωt ]; |
(9.30) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= G1 Re[U |
m (x)e jωt ]+C1 Re[jω |
|
m (x)e jωt ]. |
|
− Re d I m (x) e jωt |
|
U |
(9.31) |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i(t,0) = i1(t) |
i(t, x) |
i(t,l) = i |
2 |
(t) |
2 |
u(t,0) = |
|
|
|
|
|
= u1(t) |
|
u(t, x) |
u(t,l) = |
Z н |
|
|
= u2 (t) |
|
|
|
|
|
|
|
1′ |
x |
l |
y |
|
|
2′ |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 9.5 – Схема ДЛ для синусоїдного усталеного процесу |
|
Якщо праві частини рівнянь (9.30) і (9.31) перетворити, використовуючи
властивість комутативності векторів, виходить: |
|
dU |
m |
(x) |
e jωt |
|
= Re[(R1 + jωL1 )I m (x)e jωt ]; |
|
− Re |
|
|
|
|
|
(9.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= Re[(G1 + jωC1 ) |
|
m (x)e jωt ]. |
|
d I |
m |
(x) |
e jωt |
|
U |
|
− Re |
|
|
|
(9.33) |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
Зрівності дійсних частин векторів, що обертаються з однаковою частотою
іскладають рівняння (9.32) і (9.33), виходить рівність векторів:
− |
dU m (x) |
= R I |
m |
(x) + jωL I |
m |
(x) = (R + jωL |
)I |
m |
(x) = Z |
1 |
I |
m |
(x) ; (9.34) |
|
|
|
|
dx |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
d I m (x) |
= G U |
|
(x) + jωC U |
|
|
(x) = (G + jωC )U |
|
|
(x) =Y U |
|
|
(x) , (9.35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
m |
|
1 |
|
m |
|
1 |
1 |
|
|
|
m |
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де Z1 = R1 + jωL1 , Y 1 = G1 + jωC1 – первинні комплексні опір і провідність
лінії, відповідно.
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
397 |
Від системи рівнянь (9.34), (9.35) можна перейти до єдиного рівняння відносно U m (x) або I m (x) . Так, щоб скласти рівняння для U m (x) , достатньо
продиференціювати вираз (9.34) за x:
− d 2U m (x) = Z1 d I m (x) , dx2 dx
а праву частину отриманого рівняння перетворити на підставі виразу (9.35):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
d 2 |
U |
m (x) |
= −Z Y U |
|
(x) . |
(9.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
1 1 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння (9.36) зазвичай записують у стандартній формі: |
|
|
d 2 |
U |
m (x) |
− γ2U m (x) = 0 , |
(9.37) |
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де γ = Z1Y1 = α+ jβ – коефіцієнт поширення; α – коефіцієнт ослаблення (загасання); β – коефіцієнт фази.
Слід зазначити, що загалом в лінії з втратами коефіцієнт ослаблення залежить від частоти, а коефіцієнт фази є нелінійною функцією частоти.
Однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку (9.37) в теорії хвильових процесів є одновимірним випадком відомого у математичній
фізиці рівняння Гельмгольца9. |
|
|
|
|
|
Аналогічний вигляд має диференціальне рівняння для I m (x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 I m (x) |
− γ2 I m (x) = 0 . |
|
(9.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
Для рівнянь (9.37) і (9.38) характеристичні рівняння однакові: p2 − γ2 = 0 |
і мають комплексні корені |
|
|
|
p |
1,2 = mγ = mα m jβ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Загальний розв’язок диференціального рівняння (9.37) має вигляд: |
|
U |
m |
(x) = A e−γx + A |
2 |
e |
γx = A e−αx − j(βx −ψA1 ) |
+ A eαx + j(βx +ψA2 ) , |
|
(9.39) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
де A |
= A e jψA1 ; |
A |
2 |
= A e jψ A2 – сталі інтегрування. |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Від комплексної амплітуди напруги можна перейти до її миттєвого зна- |
чення у довільному перерізі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t,x) =Re[U |
|
(x)e jωt ] |
= A e−αxcos(ωt −βx + ψ |
A1 |
) +A eαxcos(ωt + βx + ψ |
A2 |
). (9.40) |
|
|
|
|
m |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд, Helmholtz (1821–1894) – німецький вче-
ний, працював в області фізики, математики, фізіології та психології. Дав першу математичну трактовку закону збереження енергії. Вперше застосував принцип найменшої дії до теплових, електромагнітних та оптичних явищ. Обгрунтував особливості вихрового руху рідини, який покладено до основи гідрота аеродинаміки. В математиці досліджував геометричні аксіоми і ріманів простір. Увів у математичну фізику рівняння, назване його ім’ям. В області фізіології вивчав нервову і м’язову системи, органи зору та слуху. Для цього сконструював декілька оригінальних вимірювальних приладів.
398 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
Запис (9.40) відрізняється від виразу (9.20) тільки наявністю експоненційних множників. Тому перший доданок у виразі (9.40) є миттєвим значенням падаючої uпад(t, x) , а другий – відбитої uвід(t, x) хвиль у довільному
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перерізі лінії. Запис uпад(t, x) та uвід(t, x) у різних формах: |
|
|
|
u |
пад |
(t, x) = A e−αx cos( |
2π |
t − |
2π |
x +ψ |
A1 |
) = A e−αx cos[ω(t − x/v) +ψ |
A1 |
]; |
(9.41) |
|
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
λ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
від |
(t, x) = A eαx cos( |
2π |
t + |
2π |
x +ψ |
A2 |
) = A eαx cos[ω(t + x / v) +ψ |
A2 |
] |
(9.42) |
|
|
|
|
2 |
T |
λ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параметри лінії: довжину |
хвилі |
дозволяє |
ввести вельми важливі вторинні |
λ = 2π/β та фазову швидкість поширення хвилі v = ω/β. |
|
|
|
Графіки падаючої та відбитої хвиль напруги зображені відповідно на рис.9.6 і 9.7. Аналіз графіків дозволяє зробити такі висновки:
1) у довільний фіксований момент часу tk падаюча (рис.9.6, б) і відбита
(рис.9.7, б) хвилі є коливаннями з експоненційним законом змінювання амплітуд вздовж лінії та періодом, який дорівнює довжині хвилі λ;
2)падаюча хвиля з часом пересувається від входу лінії до навантаження з фазовою швидкістю v (рис.9.6, б), при цьому амплітуда хвилі зменшується у напрямку навантаження;
3)відбита хвиля з часом пересувається від навантаження до входу лінії зі швидкістю v (рис.9.7, б), причому амплітуда хвилі зменшується при наближенні до входу лінії;
4)у будь-якому перерізі лінії xk ці процеси змінюються у часі за сину-
соїдним законом (рис.9.6, в і 9.7, в) з частотою ω (періодом T = 2π/ ω) і мають різні амплітуди і початкові фази у різних перерізах xk ;
5) процеси uпад(t, x) та uвід(t, x) як функції часу і координати наочно подають їхні аксонометричні відображення (рис.9.6, а і 9.7, а); таке подання, крім перерізів t = tk та x = xk , дозволяє показати фронт (гребінь10) хвилі, за якого ар-
гумент uпад(t, x) чи uвід(t, x) є цілим числом 2π.
Сталі інтегрування визначають з початкових (граничних) умов для x = 0:
U |
m |
(0) =U |
m1 |
= A |
+ A |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU m (x) |
|
|
= −Z1 I m (0) = −Z1 I m1 = −γA1 + γA2 . |
(9.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Складаючи перше рівняння системи (9.43), використовують формулу
(9.39), а друге – формулу (9.34) при x = 0.
Розв’язання системи (9.43) дозволяє знайти сталі A1 , A2 :
A1 = (U m1 + Z хв I m1) / 2 ; A2= (U m1 − Z хвI m1) / 2, |
(9.44) |
де Z хв = Z1 / Y1 – хвильовий опір лінії.
10 На рис.9.6, а і 9.7, а показані осі, які відповідають гребеням з нульовими значеннями аргументів.
|
|
|
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1 |
399 |
t − x / v = 0 |
uпад(t, x) фронт хвилі |
|
x |
|
|
l |
|
|
|
t
λ
|
а |
|
|
|
T |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
пад |
(t |
k |
, x) |
t =0 |
= |
= |
= |
A e−αx |
|
|
|
1 |
t2 T/12 |
t3 T/6 |
t4 T/4 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
б |
λ |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uпад (t, xk ) x =0 |
x |
2 |
=λ/12 |
x |
3 |
=λ/6 |
x |
4 |
=λ/4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
A1
Рисунок 9.6 – Графіки падаючої хвилі напруги у ДЛ при ΨА1 = 0:
а– аксонометричне подання; б – розподіл уздовж лінії для моментів часу tk;
в– залежність від часу в перерізах лінії xk
400 |
Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін. |
