1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

Особливості резонансу напруг і способів настроювання визначають принцип дії вимірювальних приладів, які називаються « Q -метрами». До складу цих

приладів входять генератори із змінною частотою, змінні конденсатори і індикатори струму. Q -метри дозволяють вимірювати не тільки добротності

контурів, але й індуктивності котушок і ємності конденсаторів.

Величина, обернена добротності, позначається літерою d і називається

загасанням контуру:

ними параметрами контуру.

Частотні залежності діючих значень (амплітуд) напруг на елементах R ,

L , C називають резонансними кривими.

Виходячи з закону Ома в комплексній формі для схеми (рис.4.11, в), ком-

нансних кривих напруги на елементах контуру. В області частот поблизу ωрез

при малих добротностях, тобто при великому опорі втрат, спостерігаються специфічні особливості резонансних кривих. Значення струму на резонансній кривій (рис.4.13) повільно зменшується при відході від резонансної частоти. З кривою струму за формою збігається резонансна крива напруги на активному опорі U R (ω) − ці криві відрізняються постійним коефіцієнтом R (рис.4.15).

Максимальне діюче (амплітудне) значення напруги на опорі (амплітудний резонанс) спостерігається на частоті ωрез, яка є також і частотою фазового ре-

зонансу.

Крива частотної залежності діючого значення напруги на ємності згідно з виразом (4.29) здобута множенням кривої струму, подібної до U R (ω) , на

ємнісний опір 1/ ωC , обернено пропорційний частоті. Оскільки крива I мало змінюється поблизу резонансної частоти, максимум кривої UC (ω) зміщується у

бік частот, менших за резонансну (рис.4.15). Такий же висновок можна дістати, аналізуючи співвідношення (4.29) з урахуванням значення струму I (4.13):

Рисунок 4.15 – Графіки резонансних кривих напруг на елементах послідовного коливального контуру

Аналіз резонансної кривої діючого значення напруги на індуктивності виконується аналогічно відповідно до формули (4.30). Оскільки індуктивний опір ωL збільшується із зростанням частоти, це призводить до зміщення максимуму U L (ω) у бік частот, вищих від резонансної. Частота, яка відповідає

максимальній напрузі на індуктивності, і максимум напруги на індуктивності U L max становитимуть:

приклад, при добротності Q =10 (d = 0,1) частоти максимумів становитимуть

що при низькій добротності різниця між максимумами напруг на реактивних елементах та їх резонансними значеннями, а також відмінність частот, які відповідають цим максимумам, і резонансною частотою можуть бути суттєвими. Тому загалом визначати резонансну частоту контуру за максимумом діючого значення напруг на реактивних елементах не можна.

Приклад 4.5. Розрахувати вторинні параметри послідовного контуру, розглянутого у прикладі 4.2. Знайти комплексні діючі значення струму і напруг на елемен-

тах контуру, якщо E = 5e− jπ/ 4 В.

Розв’язання. За формулами (4.14), (4.19), (4.23), (4.26) обчислимо:

4.4Комплексні передатні функції і частотні характеристики послідовного контуру. Абсолютна, відносна і узагальнена розстройки

Якщо дією вважати ЕРС F вх = E , то відповідно до формули (4.2) КПФ

Вирази для АЧХ і ФЧХ послідовного контуру, а також значення КПФ і АЧХ для резонансної частоти наведені у табл.4.1.

Таблиця 4.1 – Вирази та значення КПФ, АЧХі ФЧХ послідовного контуру

Графіки частотних характеристик показані на рис.4.16 – 4.18. На рис.4.16 графіки частотних характеристик зображені для двох значень добротності

Q1 > Q2 ( R1 < R2 ).

При значних змінах добротності ординати графіків АЧХ можуть суттєво відрізнятися між собою, що незручно для побудови і аналізу кривих. Щоб позбутися цього, переходять від абсолютних координат до відносних, які можна відраховувати по осі ординат (абсцис) − нарізно або по обох осях одночасно.

Для контуру з низькою добротністю (1 < Q <10 ) криві HUС (ω) і HU L (ω)

(рис.4.17, а) мають такий же вигляд, як і відповідні резонансні криві (рис.4.15), але по осі ординат відкладені не абсолютні, а нормовані (до величини E ) значення напруг.

За високої добротності максимуми кривих HUС (ω) і HUL (ω) практично дорівнюють Q , а частота максимумів відповідає резонансній (рис.4.18, а), тоб-

то поблизу резонансної частоти криві збігаються. При ω= 0 і ω→ ∞ відмінності у значеннях АЧХ зберігаються.

Щоб визначити граничні значення АЧХ HUС (ω) , HUL (ω) (рис.4.17, а і

4.18, а), слід скласти еквівалентні схеми (рис.4.19) послідовного контуру на граничних частотах ω= 0 і ω→ ∞.

Рисунок 4.17 – Графіки частотних характеристик для контуру

знизькою добротністю: а – АЧХ; б – ФЧХ

Зрис.4.19, а виходить, що U L (0) = 0 , UC (0) = E , тому значення АЧХ для

нульового значення частоти HUL (0) = 0, HUC (0) =1. Для ω→∞ (рис.4.19, б)

U L (∞) = E ; UC (∞) = 0 , тому HUL (∞) =1; HUC (∞) = 0 .

У відносних координатах по осі ординат зображають тільки АЧХ, оскільки межі змінювання ФЧХ при різних добротностях не змінюються. Для нормування АЧХ використовують резонансні значення H (ωрез) (див. табл.4.1).

а – в абсолютних ; б – у нормованих одиницях

Рисунок 4.19 – Еквівалентні схеми послідовного контуру для граничних значень частоти: а – ω = 0; б – ω → ∞

Вирази для нормованих АЧХ зведені до табл.4.2, у яку, однак, не внесено вираз для HURнорм(ω) , оскільки HUR (ωрез) =1, і тому HURнорм(ω) = HUR (ω) . Графік (рис.4.16, б) відповідає одночасно Yнорм(ω) , HU R (ω) і HURнорм(ω) .

Нормовані АЧХ HUC норм(ω) і HULнорм(ω) (рис.4.18, б) для контурів високої добротності поблизу резонансної частоти ( ωрез/ω≈ω/ωрез ≈1) практично

збігаються між собою та з іншими нормованими АЧХ. З відходом від резонансної частоти відмінності цих АЧХ зростають.

Таблиця 4.2 – Нормовані АЧХ послідовного контуру

Розраховуючи високодобротні контури, у пристроях технічного захисту

досліджують їх поведінку переважно в області частот, які мало відрізняються від резонансної частоти ωрез. Величини

які називають абсолютними розстройками, вказують, наскільки і в який бік поточна частота відрізняється від резонансної. Коли розстройка від’ємна, значення частоти ω ( f ) менше ωрез ( fрез) , коли додатна, − навпаки; а якщо

ω= ωрез ( f = fрез) , тоді ∆ω= 0 (∆f = 0) . Якщо по осі абсцис відкладати абсолютну розстройку, начало координат відповідає резонансній частоті.

Як приклад, на рис.4.20 показані графіки залежностей Yнорм(∆ω) і ϕY (∆ω) від абсолютної розстройки для двох значень добротності.

Рисунок 4.20 – Частотні характеристики послідовного контуру для Y (ω) у функції абсолютної розстройки: а – нормовані АЧХ; б – ФЧХ

Відношення абсолютної розстройки до резонансної частоти ∆ω/ ωрез , або ∆f / fрез , називається відносною розстройкою. Для резонансних контурів, у яких Q >>1, відносна розстройка поблизу резонансної частоти ∆ω/ ωрез <<1.

Частотні характеристики можна розглядати також як функції величини X / R , що визначає частотну залежність виразів ФЧХ (табл.4.1) і нормованих АЧХ (табл.4.2) добротних контурів поблизу резонансної частоти. Ця величина називається узагальненою розстройкою і позначається грецькою літерою ксі:

Співвідношення для ФЧХ (див. табл.4.1) в функції ξ мають вигляд:

ϕY (ξ) = ϕUR (ξ) = −arctgξ; ϕUC (ξ) = − π2 −arctgξ; ϕUL (ξ) = π2 −arctgξ. (4.38)

Нормовані частотні характеристики в функції ξ (рис.4.21) не залежать від добротності. Ці криві симетричні відносно осі ординат, на відміну від кривих (рис.4.16, а, б), асиметрія яких обумовлена несиметричною формою графіка

X = f (ω) (див. рис.4.12, б) відносно значення ωрез. Причому асиметрія тим більша, чим менша резонансна частота.

Зазвичай замість точної формули (4.36) використовують приблизну, в яку входять абсолютна розстройка ∆ω ( ∆f ), резонансна частота ωрез ( fрез) і доб-

ротність Q . Щоб знайти приблизне значення функції ξ(ω) , її розкладають в ряд Тейлора поблизу значення аргументу ω=ωрез:

Рисунок 4.21 – Графіки АЧХ і ФЧХ послідовного контуру в функції узагальненої розстройки: а – нормована АЧХ; б – ФЧХ

Слід зазначити, що, виходячи з формули (4.39), одну и ту ж ординату графіків (рис.4.21), яка відповідає певному значенню ξ, при збільшенні Q можна отримати, зменшуючи абсолютну розстройку ∆ω.

Поблизу резонансної частоти всі КПФ високодобротного контуру можна звести до єдиного виразу нормованої комплексної передатної функції норму-

звідки виходять співвідношення для нормованих АЧХ і ФЧХ:

Вираз для нормованої АЧХ збігається із співвідношенням (4.37), а формула (4.40) для нормованої ФЧХ – з виразом (4.38) для ϕU R (ξ) = ϕY (ξ) .

4.5 Вибірність резонансного контуру. Смуга пропускання

Вибірні властивості кіл характеризуються СП і коефіцієнтом прямокутності АЧХ (див. підрозд. 4.2).

Для контурів з високою добротністю (Q >>1) нормовані АЧХ всіх видів

КПФ описуються єдиним виразом (4.37) у функції узагальненої розстройки. Використовуючи формули (4.37) і (4.9), рівняння для визначення узагальненої розстройки на границях СП можна записати у вигляді:

звідки ξ2 =1, і корені рівняння

Співвідношення (4.41) і (4.42) ілюструються на графіках нормованих АЧХ (рис.4.22, а) і ФЧХ (рис.4.22, б). На рис.4.22, б позначені також значення нормованої ФЧХ на границях СП:

ϕнорм(ξгр1,2 ) = −arctgξгр1,2 = −arctg (±1)= mπ / 4 .

Рисунок 4.22 – Параметри СП на графіках: а – АЧХ; б – ФЧХ

Підставляючи здобуті значення ξгр1,2 до виразу (4.39), можна записати:

ξгр1,2 = ±1 ≈ 2∆ωQ = 2∆f Q ,

ωpез fpез

звідки випливають співвідношення для розрахунку приблизних значень абсолютних розстройок для границь СП, граничних частот і величини СП:

ωгр1 −ωгр2 =ωpез / Q = 2∆ωП1 = 2 ∆ωП2 . fгр1 − fгр2 = fpез / Q = 2∆fП1 = 2 ∆fП2 .