Проблема размерности в алгоритме р. Гомори

1. В нашей редакции алгоритма по мере увеличения количества задач, растет и размерность этих задач. Действительно, на каждой большой итерации в состав базисных переменных вводится новая дополнительная переменная и, соответственно, новое ограничение.

При этом количество свободных переменных не изменяется.

Так, размерность последней задачи (m+k)(n+k), где

(m+k) – количество строк,

(n+k)  – количество столбцов.

По сути дела, все зависит от количества итераций, а оно может быть очень большим.

Гомори предложил и обосновал следующий прием уменьшения размерности.

Если при решении задачи ЛП(r) в базис оптимального решения войдет некоторая переменная  x_n+k+1(k <r), то соответствующая строка и столбецпросто вычеркиваютсяиз симплекс-таблицы.

Таким образом, в самом худшем случае в базис войдут все векторы исходной задачи, а их  n.Количество же свободных переменных – одно и то же (n-m). Следовательно, в худшем случае размерность задачи составит:

n(n+(n+m))=n(2n-m)

Есть в этом алгоритме и другие проблемы, на которых следует остановиться.

2. Ошибки округления. Эти ошибки, возникающие в процессе вычислений, могут приводить к получению неверного решения.

3. В процессе реализации алгоритма все промежуточные решения – оптимальные решения ЛП(k) задач – не являются допустимыми решениями исходной ЛЦП-задачи. В этой связи алгоритм Гомори имеет другое название – "Двойственный алгоритм". Короче, алгоритм не позволяет получить какое-либо целочисленное решение, отличное от оптимального. Весьма проблематично использовать этот алгоритм для приближенного решения задачи ЛЦП

4. Четвертую проблему, мы рассмотрим на примере.

Исходная задача

2x₁+ x₂max,

x₁+  x₂ 8,

 x₁  5/2,

      x_1,20,

   x_1,2 – целые.

Задача лп(0)

 2x₁+ x₂max,

x₁+  x₂+x₃     = 8,

  x₁       +x₄= 5/2,

         x_1,2,3,40,

     x_1,2,3,4 – целые.

Баз	Cбаз	A0	2	1	0	0
			A1	A2	A3	A4
A3	0	8	1	1	1	0
A4	0	5/2	1	0	0	1
Tабл. 1		0	-2	-1	0	0
A3	0	11/2	0	1	1	-1
A1	2	5/2	1	0	0	1
Табл.2		5	0	-1	0	2
A2	1	11/2	0	1	1	-1
A1	2	5/2	1	0	0	1
Табл.3		21/2	0	0	1	1

Баз	Cбаз	A0	2	1	0	0	0
			A1	A2	A3	A4	A5
A2	1	11/2	0	1	1	-1	0
A1	2	5/2	1	0	0	1	0
A5	0	-1/2	0	0	0	0	1
Табл.4		21/2	0	0	1	1	0

При работе по ДСМ срабатывает признак недопустимости!!!

Вся беда в том, что 1-й алгоритм Гомори предполагает целочисленность всех переменных, в том числе и дополнительных. Поэтому достаточнымусловием правильной работы этого алгоритма является целочисленность всех параметров задачи.