5

МВГ1.doc

Метод ветвей и границ

Среди методов, ориентированных на точное и/или приближенное решение задач комбинаторного типа, занимает группа методов, объединенных под общим названием "Метод ветвей и границ".

Впервые метод ветвей и границ был предложен в работе американских математиков Лэнд и Дойг в 1960г. применительно к задаче ЛЦП. Однако, в силу ряда причин, эта работа не оказала заметного влияния на развитие целочисленного программирования. Фактически "второе рождение" метода ветвей и границ связано с работой американских математиков Литтла, Мурти и др. (Little, Murty, Sweeney и Karel), посвященной задаче о коммивояжере (1963г.). В этой же работе впервые позвучало общепринятое теперь название "Метод ветвей и границ".

Различные реализации МВ и Г объединяет общая идея – идея замены полного перебора сокращенным, направленным перебором допустимых решений (комбинаций). Эффект достигается за счет массового отсеивания т.н. "бесперспективных" вариантов.

В основу различных модификаций МВ и Г положено несколько принципов, которые рассматриваются в следующем разделе.

Принципы метода ветвей и границ

1. Вычисление верхней или нижней границы (оценки) ЦФ на допустимом множестве или некотором его подмножестве;

2. Последовательное разбиение допустимого множества (ветвление), шаг за шагом сокращающее допустимое множество;

3. Пересчет оценок (границ);

4. Установление признака оптимальности;

4'   Оценка точности приближенного решения.

1. Вычисление границы

Для определенности рассмотрим в самой общей постановке задачу комбинаторного типа на минимум ЦФ:

F(X)min,

XG.

Здесь  G – множество допустимых решений (комбинаций);

X –элемент множества G.

Иногда удается найти нижнюю границу (оценку) целевой функции  F   на   G  или на некотором его подмножестве G'G.

Нижняя граница – это такое число (G) (или (G')), что

 XG имеет место    F(X) (G). Способ вычисления нижней границы существенно зависит от содержательной постановки задачи.

Например, в задаче поиска самого короткого маршрута из некоторой точки A в точку B с учетом существующей транспортной сети, в качестве нижней границы можно взять евклидово расстояние между этими точками (короче пути нет и быть не может).

2. Ветвление

Реализация метода ветвей и границ связана с постепенным разбиением допустимого множества G на подмножества меньшей мощности – с представлением этого подмножества в виде дерева подмножеств. Принцип, по которому осуществляется разбиение, также зависит от конкретной задачи.

3. Пересчет оценок

Пересчет оценок основан на очевидном факте. Если G₁G_2, то должно иметь место:

.!

Учитывая это обстоятельство, предполагается, что, если разбить некоторое множество G'G на подмножества

G'₁, G'₂,…, G'_s, причем G'=, то оценка любого подмножества должна быть не меньше оценки подмножества G':

, .

Таким образом, после разбиения любого подмножества, необходимо вычислить оценки всех вновь образованных подмножеств – "уточнить" оценки.

4. Признак оптимальности

Пусть G= и известно решение ({1,2,…,s}). Пусть, далее, имеет место следующее соотношение:

Тогда - оптимальное решение задачи. Доказательство вытекает непосредственно из определения границы.