Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Системный анализ / 18. Приближенные методы ЛЦП.DOC
Скачиваний:
46
Добавлен:
10.05.2014
Размер:
192.51 Кб
Скачать

6

ЛЦП приближ.doc

Приближенные методы решения задач лцп

На примере метода отсечения мы столкнулись с теми принципиальными трудностями, которые отличают задачи ЛП от задач ЛЦП.

В ряде случаев для получения решения задачи ЛЦП можно идти по пути округления оптимального решения задачи ЛП.

Например, если речь идет о планировании выпуска достаточно крупныхпартий изделий. Здесь округление вполне правомерно, тем более, что исходная информация, как правило задается неточно, с определенными "допусками".

Однако в очень большом количестве случаев объект управления не описывается моделью ЛП – требование целочисленности параметров управления является принципиальным.

Например, это – задача о коммивояжере. Нецелочисленное ее решение не имеет никакого смысла.

Первый вопрос, на который следует ответить, ставится так – решать ли задачу точно или приближенно. Соответственно, существующие методы можно условно разбить на две группы: точныеиприближенные.

В настоящее время интенсивно развиваются и используются на практике приближенные методы, которые дают возможность за приемлемое время получать "достаточно хорошее" решение. Это особенно важно в задачах оперативного планирования и управления.

Традиционные приближенные методы можно разделить на два класса:

  1. приближенные методы, порожденные известными точными методами;

  2. методы, с самого начала ориентированные на приближенное решение задачи.

Относительно первой группы следует отметить, что любой точныйметод решения ЛЦП задачи, монотонно увеличивающий (в задачах на максимум ЦФ) значение целевой функции, может быть прерван на произвольной итерации и может рассматриваться, какприближенныйметод.

В этой связи, следует еще раз отметить, что на основе метода отсечения едва ли удастся построить удовлетворительный приближенный метод решения целочисленной задачи.

Гораздо более перспективной основой для конструирования приближенных алгоритмов является метод ветвей и границ, который будет рассмотрен в курсе.

Сейчас рассмотрим один из методов, с самого начала ориентированный на приближенное решение задачи ЛЦП.

Приближенный метод решения задачи лцп

Дана задача ЛЦП:

Здесь все aij0,cj0,bi0.

Метод представляет собой пошаговый процесс движения к искомому решению из некоторой начальной точки, в качестве которой принимается начало координат X0=(0, 0, … ,0). Эта точка удовлетворяет всем ограничениям задачи.

На каждом шаге этого процесса увеличивается значение только однойпеременнойна единицу. Значения остальных переменных остаются неизменными. Процесс завершается в тот момент, когда ни одну из координат полученной точки (решения) нельзя увеличить: новое решение становится недопустимым.

Алгоритм

Шаг 0.  Принимаем=0,Xk== (0, 0, … ,0).

Шаг 1.  Решаемая задача ЛЦПkимеет вид:

Определяем верхние границы переменных:

. (На сколько можно увеличить значение переменнойxj, чтобы не нарушить ни одного  ограничения задачи ЛЦПk).

Шаг 2.  Если все, то процесс завершен - получено оптимальное решение задачи:Xopt =X=,Zopt =.Конец.

Шаг 3.  Для переменныхxj, имеющих границу, вычисляютсяприоритеты:

- "вклад" в ЦФ, который обеспечивается увеличением переменнойxjдо максимально возможного значения. Выбирается переменная, обладающая максимальным приоритетом:.

Шаг 4.  В новом решенииXk+1=переменнуюx увеличиваем на единицу, остальные переменные остаются прежними:

               .

Пересчитываем новые значения свободных членов  в ограничениях задачи ЛЦПk+1:

              .

Полагаем   k=k+1 и переходим к шагу 1.

Пример 1

Шаг 0 

Шаг 1 

x2 

Шаг 2  произвольно  x1 

Шаг 3 

x2 

Шаг 4   x1 

< 1!

Шаг 5  < 1!

< 1! . КОНЕЦ: Xopt =X= (2,2)

Zopt =2+4=6

В этом примере полученное решение совпадает с оптимальным решением задачи. Однако можно привести простой пример, когда алгоритм не дает оптимального решения.

Пример 2