Метод локальной оптимизации

Среди традиционных методов, с самого начала ориентированных на приближенное решение задачи целочисленного программирования

f(x)extr

xG^ц

наибольшей популярностью пользуется метод локальной оптимизации. Этот метод применим не только к задачам ЛЦП, но ик задачам более широкого класса – к экстремальным задачам комбинаторного типа.

Экстремальные задачи комбинаторного типа

В этих задачах поиск экстремума ЦФ осуществляется на некотором множестве комбинаций элементов заданного множества. В качестве таких комбинаций могут выступать, например, перестановки, сочетания, последовательности элементов.

Как правило, множество таких комбинаций, в соответствии с содержательной постановкой задач, конечно.

Приведем самую общую постановку экстремальной задачи комбинаторного типа.

Пусть задано конечное множество  Rнекоторых комбинацийr_i  (i=1,2,…,N).

На множестве Rопределена некоторая функцияf(r_i). Эта функция может быть задана аналитически, алгоритмически и т.д. Главное – это есть способ вычисленияf(r_i) для любой комбинацииr_i  R.  Необходимо найти комбинацию,r_k  Rна которой ЦФ достигает минимума (или максимума).

К экстремальным задачам комбинаторного типа относятся задачи ЛЦП с ограниченным допустимым множеством.

Рассмотренные ранее задачи – задача о ранце, о назначениях, о размещении заказов, о коммивояжере - также относятся к классу комбинаторных задач.

Что характерно для этих задач? Характерно то, что, несмотря на конечность множества допустимых комбинаций   R, мощность этого множества для реальных задач столь высокая, что прямой перебор для поиска оптимальной комбинации становится нереализуемым.

Например, в задаче о назначениях ||R||=n!; в задаче о коммивояжере ||R||=(n-1)!.

Ряд задач комбинаторного типа в принципе можно свести к ЛЦП(б)-задачам. Однако, задачи комбинаторного типа, представленные моделями ЛЦП или ЛЦП(б)-задач имеют очень большую размерность, что затрудняет из решение.

Вместе с тем, несмотря на то, что количество допустимых комбинаций в экстремальных задачах комбинаторного типа очень большое, но оно все-таки конечное. Именно это обстоятельство используется в комбинаторных методах, основная идея которых – замена полного перебора всех допустимых вариантов (комбинаций) частичным перебором. Таким методом, в частности, является метод локальной оптимизации, в котором осуществляется последовательный переход от одной комбинации к другой, доставляющей ЦФ лучшее значение.

Основные понятия и общий алгоритм метода локальной оптимизации

Итак, общая постановка задачи заключается в следующем.

Дано множество комбинаций R={ r_i},i=1,2,…,N.

Определена функция   f(r_i) – целевая функция.

Требуется найти комбинацию, r_s  R такую, что

Как отмечалось метод локальной оптимизации последовательно, начиная с некоторой начальной комбинации  R , переходит к комбинациями т.д. При этом. Этот процесс продолжается до тех пор, удается найти комбинацию, доставляющую ЦФ значение большее, чем на последней найденной комбинации.

Принципиально важным понятием для организации этого процесса является понятие "окрестности комбинации".

Для каждой комбинации r_iR определим некоторое подмножество комбинаций M(r_i)  R, причемr_iM(r_i).

Подмножество M(r_i) назовемокрестностью комбинацииr_i.

Комбинацию   r_jM(r_i)\ r_iназовемсоседнейсr_i.

Иногда (для наглядности) окрестности комбинаций задают в виде графа соседства, вершинам которого соответствуют комбинации. Дуга, направленная из вершины r_iв вершинуr_j, указывает на то что комбинацияr_jM(r_i)\ r_iявляетсясоседнейсr_i

Комбинацию  r_jназовемлокально-оптимальной, если: