Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Системный анализ

Файл:

Системный анализ / 21. Задача комммивояжера (МВГ)

.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

272.38 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Комми МВГ.doc

Решение задачи о коммивояжере методом ветвей и границ

Было бы, конечно, несправедливо по отношению к такому мощному методу, каким является метод ветвей и границ, ограничиться рассмотрением только метода Лэнд и Дойг и не затронуть вообще комбинаторные задачи. Тем более, как уже было отмечено, впервые термин "ветви и границы" прозвучал при решении комбинаторной задачи - зазачи о коммивояжере (1963г.).

Сейчас мы попробуем "разработать" алгоритм решения этой задачи с использованием метода ветвей и границ.

Пусть A₁, A₂,..., A_n, - множество городов.

C=(c_ij) - квадратная матрица "расстояний" между городами прядка n.

Пусть коммивояжер выезжает из города A₁ и возвращается в этот город, побывав в каждом из остальных городов по одному разу.

Пусть, далее,  - множество всех возможных маршрутов. Обозначим (2 k  n-1) подмножество всех допустимых маршрутов, каждый из которых характеризуется тем, что выезжая из города A₁, коммивояжер последовательно посещает города , а затем - оставшиеся города и возвращается в город A₁.

Конкретизируем принцип ветвления.

Пусть коммивояжер находится в пункте A₁ - в исходном пункте. Выбором первого города, в который нужно въехать из A₁, множество всех возможных маршрутов  разбивается на непересекающиеся подмножества _1,2, _1,3,... _1,_n:

		


_1,2	_1,3	.........	_1,_n

Пусть теперь после посещения городов (2 k  n-1) принимается решение о выборе очередного города в который нужно въехать, выехав из города .

Фактически, этим решением множество допустимых маршрутов разбивается на подмножества:

где j{1,i₂,i₃,...,i_n}.

Очевидно, что подмножество состоит из одного - единственного маршрута:

, где i_n{1,i₂,i₃,...,i_n-1}.

Выбора нет!

Итак, мы конкретизировали принцип ветвления.

Конкретизируем принцип вычисления нижней границы (оценки)

Здесь "возможны варианты". Рассмотрим один из них.

Оценку подмножества (2 k  n-1) будем вычислять следующим образом:

()= ++...++

++(n-k) .

Здесь:

++...+ - фактическая стоимость всех, уже "состоявшихся" переездов;

- стоимость самого короткого переезда из пункта i_k в пункт j , в котором еще не был коммивояжер;

(n-k) - количество оставшихся переездов;

- стоимость самого короткого из оставшихся переездов.

Очевидно, что при k=n-1 оценка () совпадает со стоимостью единственного маршрута, составляющего множество - это стоимость маршрута:

, где i_n{1,i₂,i₃,...,i_n-1}.

Как видно, предложенная оценка весьма "оптимистическая". Однако, по мере продвижения (по мере разбиения множества допустимых маршрутов) эта оценка уточняется - убывать, в принципе, не может.

Таким образом, конкретизирован еще один принцип метода ветвей и границ - принцип уточнения оценок.

Теперь о последнем принципе - о принципе оптимальности.

Здесь вполне естественна следующая схема.

Имеется список подмножеств допустимых маршрутов.

Каждое из этих подмножеств имеет свою оценку.

Пусть на очередном шаге работы алгоритма из списка выбирается подмножество с минимальной оценкой.

Если этому подмножеству соответствует полный маршрут (т.е. k=n-1) , то этот маршрут является оптимальным.

Пример

В задаче нужно объехать 5 городов, выехав из города1. Стоимости переездов представлены в таблице.