4'. Оценка точности приближенного решения

Пусть G=, и .

Пусть, далее, известно некоторое допустимое решение . В соответствии с определением границы должно иметь место следующее соотношение:

Если разность невелика, т.е. не превышает некоторого порогового значения, выбранного для данной задачи, то можно принять в качестве приближенного решения задачи, а  использовать для оценки точности решения.

Можно задаться и относительной погрешностью  (%). В этом случае принимается в качестве приближенного решения задачи, если имеет место:

Общая схема метода ветвей и границ

Дана задача

F(X)min,

XG.

Введем понятие "рекорд", имеющее принципиально важное значение в методе ветвей и границ.

Рекордом R= F(X') будем называть наименьшее из известных на конкретный момент времени значение, которое принимает ЦФ на некотором допустимом решении X'G.

Шаг 1. Заносим множество  G   в предварительно очищенный список задач S: S={G}. Полагаем R= M, где M-достаточно большое положительное число.

Шаг 2. Для каждого подмножества списка вычисляем нижние границы (оценки). При этом, оценки вычисляются только для тех подмножеств, для которых они не вычислялись ранее.

Шаг 3. Последовательно анализируются подмножества списка и вычисленные для этих подмножеств оценки в порядке неубывания оценок.

Пусть рассматривается очередное подмножество списка G^*. Если G^*=, это подмножество удаляется из списка.

Если (G^*) R, то G^* также удаляется из списка (как "бесперспективное").

Если G^* - одноэлементное подмножество, или удается установить, что на некотором решении X^*G^* имеет место (G^*)=F(X^*)<R, фиксируется новый рекорд: R= F(X^*).

В результате список "очищается" от всех бесперспективных подмножеств.

Шаг 4. Если список пустой (S=), то конец – задача не имеет решения.

Шаг 5. Из списка выбирается подмножество с минимальной оценкой. После выполнения процедуры на шаге 3 – это первое в списке подмножество. Обозначим его G^min.

Если G^min - одноэлементное подмножество, или удается установить, что на некотором решении X^minG^min имеет место (G^min)=F(X^min), то получено оптимальное решение. Конец

Шаг 5. По заранее установленному признаку подмножество G^min разбивается на ряд новых подмножеств. Эти подмножества заносятся в список S, после чего выполняется  шаг 2.

Итак, в процессе работы по алгоритму метода ветвей и границ разбиению подлежат подмножества с минимальной оценкой.

Важно то обстоятельство, что оставшиеся в списке подмножества не отбрасываются (если, конечно они не признаются бесперспективными). С чем это связано?

Дело в том, что нижняя граница может оказаться недостижимой: просто не существует такого решения, на котором значение ЦФ совпадает с нижней границей, а вычисление достижимой границы весьма трудно реализовать.

Формально: .

Рисунок иллюстрирует тот случай, когда после разбиения подмножества G_a, обладающего минимальной оценкой, дальнейшему разбиению должно подлежать подмножество G_b , т.к. после пересчета оценки вновь образованных подмножеств G_a1 и G_a2 оказались хуже, чем оценка G_b .

Итак, мы рассмотрели общин принципы и общую схему метода ветвей и границ. Как видно, строгого алгоритма нет. Алгоритм получится только после того, как удастся ответить на следующие вопросы:

1. Как вычислять границу в задаче на минимум и в задаче на максимум ЦФ.

2. По какому принципу выполнять ветвление.

При решении этих двух вопросов обязательно нужно убедиться в том, что при  G₁G₂ имеет место:

.!

3. По какому принципу устанавливать факт получения оптимального решения.

Таким образом, использование метода ветвей и границ предполагает, прежде всего, конкретизацию основных принципов этого метода.