Вопрос 1. Понятие измерения. Качественные шкалы измерения.

Данные представляют собой результаты измерений. Задача измерения заключается в построении отображения уровня проявления свойства у рассматриваемых объектов в числовые значения таким образом, что бы оперируя числами можно было судить об определенных закономерностях между изучаемыми объектами.

Шкала наименований (номинальная шкала). Пусть задана простейшая система с отношениями<А; ≈>,в которой единственным отношением является отношение эквивалентности. Разобьем все множествоА на классы эквивалентности. Множество классов эквивалентности обозначим. Система с отношениями<;=> будет неприводимой.

Гомоморфизм неприводимой СО <; => в числовую СО<R; => называется шкалойнаименований. Шкальные значения в этой шкале играют роль названий или числовых меток, которые присваиваются классам эквивалентности. Шкала наименований минимально информативна: ­ она дает информацию лишь о равенстве классов из либо об эквивалентности элементов изА. Поскольку каждый класс эквивалентности можно обозначить любым числом, отличающимся от обозначения других классов, то допустимыми преобразованиямиГ_R() шкалы наименований являются любые взаимно-однозначные отображения.

Шкала порядков. Гомоморфизмmнеприводимой системы с отношениями<А; =,<> в числовую систему <А; =,<> называется шкалойпорядков. Значения в этой шкале связаны не только отношением равенства, но и строгим порядком, что обеспечивает ее большую информативность в сравнении со шкалой наименований. Если СО является приводимой, то есть содержит отношения эквивалентности, то, как и в шкале наименований, образуют неприводимую систему, выделяя классы эквивалентности.

Допустимое преобразование для шкалы порядков – монотонно возрастающее. Действительно, если шкальные значения связаны отношением строгого порядка m(a₁)<m(a₂)<…<m(a_n), то после преобразования γ·m(a), где γ – монотонно возрастающее преобразование, отношение строгого порядка сохраняется.

Вопрос 2. Количественные шкалы измерения.

Шкала интервалов. Шкалу наименований можно определить как шкалу, определенную с точностью до любых взаимно-однозначных отображений, а шкалу порядков как шкалу, единственную до монотонно возрастающих отображений. По аналогии определим шкалуинтервалов как шкалу, единственную до положительных линейных преобразований. Таким образом, класс эквивалентных шкал интервалов образуют все шкалы, связанные линейным преобразованием:

m₂(a)= αm₁(a)+β,

где α – любое положительное число, а β – любое действительное число (γ=αm(a)+β). Будем называть αкоэффициентом растяжения(сжатия) шкалы, β –коэффициентом сдвига.

Преобразование интервальной шкалы означает выбор новой точки отсчета (нуля шкалы – при m₁(a)=0 m₂(a)=β) и другой единицы масштаба α. Примеры шкал интервалов – температурные шкалы (Цельсия, Фаренгейта), шкалы летоисчисления.

В шкале интервалов адекватными будут статистики вида

f(m(a₁),m(a₂),…,m(a_n)) =

где λ _i (i=1,2,…,n) –любые действительные числа.

Пусть f(m(a₁),m(a₂),…,m(a_n)) – значение статистики f в шкалеm.Подвергнем шкальные значения допустимому преобразованию

γ=αm(a)+β. Тогда

f (αm(a₁)+β, αm(a₂)+β,…, αm(a_n)+β) = =

==

= αf(m(a₁),m(a₂),…,m(a_n))+λ₀(1-α)+ β.

Таким образом, преобразованию γ=αm(a)+β шкальных значений соответствует преобразование статистики видаαf+β', гдеβ'=λ₀(1–α)+βΣλ_i.

Частными случаями приведенной выше статистики являются:

а) произведение константы сна шкальное значение;

б) сумма шкальных значений (λ₁=λ₂=…=λ_n=1, β’=nβ);

в) среднее арифметическое при λ₁=λ₂=…=λ_n=1/nиλ₀=0.

Вместе с тем, произведение либо отношение шкальных значений не является адекватной статистикой. Так, для произведения двух шкальных значений имеем:

f(γ·m(a₁),γ·m(a₂))=(αm(a₁)+β)(αm(a₂)+β)=

=α²m(a₁)m(a₂)+αβ(m(a₁)+m(a₂))+β² =

= α²f(m(a₁),m(a₂))+ αβ(m(a₁)+m(a₂))+β².

Следовательно, операция умножения (деления) шкальных значений в шкале интервалов некорректна.

Шкала отношений. По результатам измерений, сделанных по шкале интервалов, можно сделать вывод, на сколько проявление измеряемого свойства у одного объекта больше (меньше), чем у другого. Это следует из адекватности статистикиm(a₁)-m(a₂). В то же время эти измерения не позволяют сделать вывод, во сколько раз проявление измеряемого свойства у одного объекта больше (меньше), чем у другого. Подобное сравнение возможно, если статистикаm(a₁)/m(a₂) инвариантна или, по крайней мере, адекватна для соответствующей шкалы измерений. Эта статистика является инвариантной для шкалы, в которой допустимым преобразованием являетсяγ=αm(a).

Шкала, единственная с точностью до коэффициента сжатия (растяжения), называется шкалой отношений. Данные шкалы наиболее распространены в физических измерениях (измерение массы, электрического заряда, значения силы). Общим в этих шкалах является наличие объекта (возможно, виртуального) с абсолютным отсутствием свойства (наличие абсолютного нуля в шкале измерения). Тем самым задается начальная точка отсчета (нуль шкалы).

Адекватными статистиками для шкалы отношений являются все статистики, адекватные для ранее рассмотренных шкал. Кроме этого, адекватными статистиками являются среднее геометрическое, произведение, отношение шкальных значений.