Вопрос 33. Корреляционная функция процесса Юла. Авторерессия второго порядка (процесс Юла)

Модель авторегрессионного процесса Юла АР(2)

(7.23)

cиспользованием оператора сдвигаВзапишется как

,

где а(В) – авторегрессионный оператор, т.е.

а(В) =. (7.24)

Представим а(В) в виде произведения двух сомножителей

. (7.24’)

Сравнивая (7.24) и (7.24’), видим , так чтох₁ их₂ есть корни квадратного уравнения

(7.25)

Свойства модели (7.23) зависят от z₁иz₂.

Для стационарности процесса (7.23) необходимо, чтобы корни z₁иz₂лежали внутри единичной окружности (случай комплексных корней при< 0), либо были меньше единицы (случай действительных корней при≥ 0), что обеспечивается при׀a₁׀<2 иa₂<1–׀a₁׀.

Пусть z₁иz₂действительны и различны. Разложимна простые дроби

, (7.26)

где .

Рассматривая отдельные слагаемые в (7.26) как суммы бесконечных геометрических прогрессий (z₁, z₂<1), получим

.

Выходит, АР(2) есть частный случай общей линейной модели (7.16) с коэффициентами

.

Рассмотрим теперь автокорреляционную функцию процесса Юла. Умножим (7.23) по очереди на y_t-1иy_t-2, возьмем математические ожидания и разделим на. В итоге получим:

Из этих уравнений можно найти а₁ иа₂, если известны первые две автокорреляции и, наоборот, по известныма₁ иа₂найтиr₁иr₂.

Умножая (7.23) на , получим рекуррентное уравнение

, (7.27)

из которого можно найти автокорреляции высоких порядков через первые автокорреляции. Тем самым полностью определяется коррелограмма процесса Юла.

Исследуем вид коррелограммы процесса АР(2). Выражение (7.27) можно рассматривать как разностное уравнение второго порядка относительно rс постоянными коэффициентами.

Общее решение такого уравнения имеет вид

, (7.28)

где d₁иd₂ −­ произвольные числа,j=1,2,3 и т.д., аz₁иz₂– корнихарактеристического уравнения

, (7.29)

где z – комплексная переменная.

Отметим, что уравнения (7.25) и (7.29) совпадают.

Таким образом, в случае действительных корней коррелограмма АР(2) представляет собой, как видно из (7.26), смесь двух затухающих экспонент. В случае комплексных корней x₁ их₂коррелограмма процесса АР(2) оказывается затухающей гармоникой.

Рассмотрим теперь, как ведет себя частная автокорреляционная функция процесса Юла. Отличным от нуля оказывается лишь коэффициент r_13.2, равныйa₂. Частные корреляции более высоких порядков равны нулю (подробнее этот процесс рассматривается дальше). Таким образом, частная коррелограмма процесса обрывается сразу после лага, равного единице.

В заключение отметим, что модели АР(2) оказались приемлемыми при описании поведения циклической природы, прообразом которого служит маятник, на который воздействуют малые случайные импульсы. Амплитуда и фаза такого колебательного процесса будут все время меняться.

Вопрос 34. Определение порядка полинома в модели временного ряда.

Определение порядка полинома методом последовательных разностей

Если имеется ряд, содержащий полином (или локально представляемый полиномом) с наложенным на него случайным элементом, то исключить полиномиальную часть можно вычислением последовательных разностей ряда. Действительно, разности полинома порядка k представляют собой полином порядкаk-1. Далее, если ряд содержит полином порядкаp, то переход к разностям, повторенный (p+1) раз, исключает его и оставляет элементы, связанные со случайной компонентой исходного ряда.

Взятие разностей преобразует случайную компоненту x_tряда:

;

.

;

.

Из последнего соотношения получаем

.

Следовательно, метод последовательных разностей переменной состоит в вычислении первых, вторых, третьих и т.д. разностей, подсчете суммы квадратов, делении на соответствующее число сочетаний и т.д. и обнаружения момента, когда это отношение становится постоянным. Таким образом, мы получаем оценки порядка полинома и дисперсии случайного компонента.