Первый алгоритм р.Гомори

В соответствие с общей схемой метода отсечения, будем строить последовательность ЛП-задач:

ЛП(0), ЛП(1),…,ЛП(k),…

Переменную y_l, которая определяется дополнительным ограничением (*) и строится по некоторой нецелой координате оптимального опорного решения задачи ЛП(k), обозначимx_n+k+1(считаем, что ЛП(0) – исходная задача без требования целочисленности переменных).

Через _kобозначим множество номеров свободных переменных в оптимальном опорном решения задачи ЛП(k).

Шаг 0. Положимk=0и решим задачу ЛП(k).

Шаг 1. Если все базисные переменные оптимального решения – целые, то исходная ЛЦП-задача решена.Конец. Если задача не имеет решения, то и исходная ЛЦП-задача также не имеет решения.Конец.

Шаг 2. Среди нецелых координатвыбирается любая координата (обычно – с максимальной дробной частью) . Пусть это будет.

Шаг 3. По координатестроится дополнительное ограничение:

, (8)

где - дополнительная переменная,- множество номеров свободных переменных в оптимальном опорном решения задачи ЛП(k). Ограничение (8) вносится в состав ограничений задачи ЛП(k): таким образом, формируется задача ЛП(k+1).

Формально, введение дополнительного ограничения – это дополнение симплекс-таблицы новой строкой

и одним столбцом – единичным вектором с единицей в позиции, соответствующей новой строке.

Баз.	Сбаз		с1	с2	……	cl	……	0
		А0	А1	А2		Аl		Аn+k+1
………………………………………………………………..
Аl	cl	xl0	xl1	xl2	……	1	……	0
………………………………………………………………..
Аn+k+1	0	-{xl0}	-{xl1}	-{xl2}	…		…	1
			0	0		0		0

В новой задаче переменными являются:

x₁, x₂, …,x_n, x_n+1, x₂, …,x_n+k, x_n+k+1

Что теперь записано в симплекс-таблице?

• Оценки не изменились – все они не отрицательные (имеем оптимальное решение ЛП(k) и одну нулевую оценку введенного вектора  A_n+k+1 ).

• Но в разложении вектора A₀появилась отрицательная координата.

Следовательно, в симплекс-таблице записан псевдопланзадачи ЛП(k+1)

Шаг 4. Применяем двойственный симплекс-метод для решения задачи ЛП(k+1). Очевидно, что на первой итерации вектор A_n+k+1 выйдет из состава базисных векторов, т.к. ему соответствует единственная отрицательная координата ПДО-решения. Решаем задачу до конца. Принимаем   k=k+1   и переходим кШагу 1.

Хотя это интуитивно ясно, существует доказательство конечности рассмотренного метода: за конечное число шагов будет найдено целочисленное решение задачи ЛЦП, либо будет установлена неразрешимость этой задачи.

Пример

			1	2	0	0
Баз	Cбаз	A0	A1	A2	A3	A4
A3	0	8	2	1	1	0
A4	0	3	0	1	0	1
Tабл. 1		0	-1	-2	0	0
A3	0	5	2	0	1	-1
A2	2	3	0	1	0	1
Табл.2		6	-1	0	0	2
A1	1	5/2	1	0	1/2	-1/2
A2	2	3	0	1	0	1
Табл.3		17/2	0	0	1/2	3/2

По первой координате (не целой) строим дополнительное ограничение, вводим в состав базисных векторов вектор A₅и заполняем симплекс-таблицу для задачи ЛП(1):

			1	2	0	0	0
Баз	Cбаз	A0	A1	A2	A3	A4	A5
A1	1	5/2	1	0	1/2	-1/2	0
A2	2	3	0	1	0	1	0
A5	0	-1/2	0	0	-1/2	-1/2	1
Tабл. 1		17/2	0	0	1/2	3/2	0

Применяем двойственный симплекс-метод:

			1	2	0	0	0
Баз	Cбаз	A0	A1	A2	A3	A4	A5
A1	1	2	1	0	0	-1	1
A2	2	3	0	1	0	1	0
A3	0	1	0	0	1	1	-2
Табл.2		8	0	0	0	1	1

Имеем целочисленное решение

Пример экзаменационной задачи. Дана задача ЛЦП и последняя симплекс-таблица – результат решения, полученный по алгоритму Гомори. Найти оптимальное решение этой же задачи без требования целочисленности переменных

Геометрическая интерпретация

  x₁+2x₂max,

2x₁+  x₂+x₃    = 8,

          x₂       +x₄= 3,

         x_1,2,3,40,

     x_1,2,3,4 – целые.

Выразим переменные x₃  иx₄черезx₁   иx₁:

			1	2	0	0	0
Баз	Cбаз	A0	A1	A2	A3	A4	A5
A1	1	5/2	1	0	1/2	-1/2	0
A2	2	3	0	1	0	1	0
A5	0	-1/2	0	0	-1/2	-1/2	1
Tабл. 1		17/2	0	0	1/2	3/2	0

При введении дополнительного ограничения мы пользовались выражением:

В нашем случае это:

x₅ = -1/2 –(-1/2x₃)  –(-1/2x₄) = -1/2+1/2x₃  +1/2x₄

Ввиду того, что на переменную x₅   наложено требование неотрицательности (x₅  0),дополнительное ограничение можно переписать так:1/2x₃  +1/2x₄1/2илиx₃ +x₄1. Ноx₃ = 8 - 2x₁-  x₂иx₄= 3 - x₂. Следовательно:

8 - 2x₁-  x₂+3 - x₂ 1 2x₁ +2x₂10 x₁ + x₂  5

Итак, задача ЛП(1) имеет вид:

8
7
6
5
4
3
2
1
	1	2	3	4	5	6

Перед тем, как продолжить изложение метода отсечения, остановимся на некоторых проблемах, связанных с использованием этого метода.