2.4. Планирование закупок

Предлагаемое упражнение является предельно упрощенным вариантом реальной задачи по составлению рациона для животных, которую можно сформулировать следующим образом: заданы нормы потребления различных компонент – жиров, белков и т.д. (в экономической интерпретации – благ) и их содержания в различных видах кормов, а также цены кормов. Требуется составить план закупки кормов, обеспечивающий минимальную стоимость рациона при потреблении благ не меньше норм. Для решения задачи требуется внести в таблицы Excel нормы, содержания компонент в кормах, цены кормов, а также опорный план – произвольные значения масс закупаемых кормов. Содержания компонент умножаем на массы кормов и суммируем по компонентам, получая их суммарные количества (сколько всего съедено жиров, белков и т.д.), которые в ограничениях Поиска решения устанавливаются больше или равными нормам. Умножаем цены кормов на их количества, суммируем произведения и получаем стоимость закупки – целевую функцию, для которой в Поиске решения задаем минимизацию. Изменяемые ячейки – массы закупаемых кормов, на них накладывается глобальное ограничение – требование неотрицательности. Все числа в данном примере – условные.

Составьте рацион для коровы из 4 видов кормов, содержащих 4 компонента (жиры, белки, углеводы, витамины), имеющий минимальную стоимость:

• составьте таблицу по приведенному образцу; рацион (количество кормов) задайте произвольно;

• перемножьте содержание компонент в кормах и их цены на количество соответствующих кормов (=B8*$G8, копируйте формулу);

• просуммируйте результаты умножения по столбикам (результаты – сколько всего компонент будет съедено и сколько это стоит);

• вызовите Сервис – Поиск решения;

• задайте Целевую ячейку с суммарной стоимостью (здесь F18), цель – Минимальное значение,

• Изменяя ячейки с количеством кормов (здесь G8:G11),

• Ограничения Добавить : суммарное потребление компонент должно быть не меньше норм (здесь B16:E16  B6:E6) и количество кормов не может быть отрицательным (здесь G8:G11  0);

• ознакомьтесь с Параметрами и нажмите Выполнить.

	A	B	C	D	E	F	G
5		жиры	белки	углеводы	витамины	цена	количество
6	нормы	40	70	1200	150
7	Корма
8	Сено	5	3	100	10	5	1
9	Овес	22	12	120	20	10	1
10	Ячмень	33	17	88	30	15	1
11	Силос	55	23	100	80	25	1
12
13	Сено	=B8*$G8	3	100	10	5
14	Овес	22	12	120	20	10
15	Ячмень	33	17	88	30	15
16	Силос	55	23	100	80	25
17
18	Сумма	(B13:B16)	55	408	140	55	Целевая

Применим данную технологию для изучения функции потребительского предпочтения, называемой также функцией Р.Стоуна (это уже нелинейное программирование)

U(x)=П(x_i - a_i) ^i

где a_i – минимально необходимое количество i - го блага, которое приобретается в любом случае (в данном случае – нормы),

_i характеризует степень важности блага (эластичность).

Применительно к данной задаче функция Стоуна характеризует количество молока, и мы можем минимизировать стоимость рациона при заданном количестве молока или максимизировать количество при заданной стоимости. Для этого зададим _i и вычислим функцию Стоуна, которую используем в качестве дополнительного ограничения. Целесообразно к выражению в скобках добавить очень малое число, например 10^-7, чтобы избежать отрицательных чисел, которые могут возникнуть из-за погрешности расчетов при вычитании равных величин.

	жиры	белки	углеводы	витамины
i	0,3	0,3	0,15	0,25		Количество
(i -норма i)^ i	4,761	3,265	2,245	2,864		100

Здесь приведены числа после решения задачи минимизации стоимости рациона при соблюдении норм и обеспечении количества 100.

Без изменения таблиц можно решить другую задачу – максимизировать функцию Стоуна, объявив ее целевой ячейкой, при заданной стоимости рациона, которая становится ограничением.

На рисунке показаны решения упрощенной задачи при ограничении по жиру и белкам и при ограничении функцией Стоуна. В первом случае решением является точка касания бюджетной прямой (бюджет 1) с многоугольником, образуемым линиями равного потребления жира и белков при разных закупках сена и овса, во втором случае – точка касания бюджетной прямой (бюджет 2) с функцией Стоуна. При добавлении в модель кормов размерность пространства возрастает, многогоугольник превращается в многогранник, а гипербола (функция Стоуна) – в гиперболоид в многомерном пространстве, но технология решения задачи от этого не меняется.

Далее представлен упрощенный вариант задачи. Благами являются пиво, рыба и раки, полезность рациона (целевая функция) вычислена по формуле Стоуна, ограничения: количества неотрицательные и целые, суммарная стоимость менее 1500.

	Цена	Минимум	Полезность α	Количество X	(X-Xmin)^α	Стоимость
Пиво	80	1	0,3	6	1,620	480
Рыба	50	1	0,25	8	1,626	400
Раки	150	0	0,45	4	1,866	600
					Целевая
					4,919	1480