6.5. Стохастические модели управления запасами

с фиксированным временем задержки поставок

В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки по­ставок может оказаться настолько значительным, что его необхо­димо учитывать в модели.

Пусть за время задержек поставок  уже заказаны п партий по одной в каждый из п периодов продолжительностью Т = /n. Обозначим:

S_НЗ — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);

S_i — запас за i-и период;

r_i — спрос за i-и период;

q_i — пополнение запаса за i-й период.

q _i — пополнение запаса за /-и период.

Тогда к концу n-го периода на склад поступит единиц

продукта, а будет израсходовано единиц, т.е.

или

г де

Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа.

Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае оп­ределяется по формуле (16.28), а оптимальный запас s находится по формуле (6.30), т.е.

Н айдя оптимальный запас s₀ и зная q₁ , q₂ …, q_n-1 можно вы­числить q_n

Задача 6.9. Ежедневно заказываемый скоропортящийся товар поступает в магазин спустя 7 дней после заказа. В момент очередного заказа запас товара составил в стоимостном выражении 10 ден. ед. Товар, проданный в день изготовления, приносит прибыль 0,95 ден. ед., а не проданный в этот день товар может быть затем реализован с убытком 0,10 ден. ед.

На основании опытных данных получено следующее распреде­ление спроса на данный товар (табл. 6.5).

Таблица 6.5

r	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Р(r)	0,00	0,00	0,01	0,02	0,05	0,08	0,11	0,12	0,14	0,13	0,10
r	ПО	120	130	140	150	160	170	180	190	200	>200
Р(r)	0,08	0,05	0,03	0,02	0,02	0,01	0,01	0,01	0,01	0,00	0,00

Необходимо определить оптимальный объем заказанного това­ра q₇ на седьмой день после заказа.

Решение. Плотность убытков из-за дефицита товара по формуле (6.24) равна

 = 0,95/(0,10 + 0,95) = 0,905. Учитывая ус­ловия (6.32), найдем значения функции распределения спроса (табл. 6.6).

Таблица 6.6

S	r	F(s)	S	r	F(s)	S	r	F(s)	S	r	F(s)
0	0	0,00	50	50	0,16	100	100	0,86	150	150	0,96
10	10	0,00	60	60	0,27	110	ПО	0,84	160	160	0,97
20	20	0,01	70	70	0,39	120	120	0,89	170	170	0,98
30	30	0,03	80	80	0,53	130	130	0,92	180	180	0,99
40	40	0,08	90	90	0,76	140	140	0,94	>190	>190	1,00

Условию (6.39) удовлетворяет s₀~ 120, ибо F(120) < 0,905 < F(130).

Таким образом, оптимальный запас товара за 7 дней должен быть на сумму 120 ден. ед., откуда оптимальный объем заказанно­го товара на седьмой день по (16.40) составит: q₁ = 120 - (10 + (10 + 20 +10 + 10 + 20 +10)) = 30 ден. ед>

УПРАЖНЕНИЯ

6.10. В условиях задачи 6.1 интенсивность поступления де­талей на склад в течение первых 50 мин растет по закону a(t) = = 0,2t +5, а затем до конца смены остается постоянной. Найти количество деталей на складе: а) через 10 мин после начала рабо­ты; б) в конце работы.

6.11. По условию задачи 16.3 найти изменение затрат на создание и хранение запаса при изменении объема партии на 10%.

6.12. Ежедневный спрос на некоторый продукт составляет 100 ед. Затраты на приобретение каждой партии этого продукта, не зависимые от объема партии, равны 100 ден. ед., а затраты на хранение единицы продукта – 0,02 ден. ед. в сутки. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между постав­ками партий такого объема.

6.13. Срок выполнения заказа на партию продукта в условиях задачи 6.9 равен 12 дням. При каком уровне запаса следует зака­зывать очередную партию продукта?

6.14. По условию задачи 6.5 определить максимальный уро­вень запаса и интервал между поставками.

6.15. Решить задачу 6.12 в предположении, что возможен дефицит, который приносит 0,03 ден. ед. убытка в день на едини­цу продукта.

6.16. Кондитерское предприятие торгует вразвес своими тор­тами. Каждый килограмм торта приносит 2 ден.ед., торты можно продать на следующий день со скидкой 0,2 ден. ед. На основании опыта получено распределение спроса на торты, представленное в табл. 6.3. Найти оптимальную дневную выра­ботку тортов.

6.17. Решить задачу 6.16 при условии, что спрос на торты есть случайная величина, распределенная по показательному за­кону с параметром X = 0,9.

16.18. Склад пополняется каждый месяц некоторыми изде­лиями. В течение первых пяти месяцев года объемы пополнения равны соответственно 10, 20, 20, 20 и 30 изделиям. Начальный запас к началу первого месяца равен 10 изделиям. На основании опыта получено распределение спроса на товар, представленное в табл. 6.5. Сдвиг по времени между заказом на пополнение и доставкой на склад равен 6 мес. Издержки в расчете на одно изделие из-за излишка изделий равны 10 ден. ед, а от их нехват­ки – 120 ден. ед. Найти оптимальное пополнение склада на шестой месяц.