6.4. Стохастические модели управления запасами

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у ко­торых спрос является случайным. Этот факт существенным обра­зом сказывается на характере соответствующих моделей и значи­тельно усложняет их анализ, в связи с чем в рамках данной книги ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плот­ность вероятностей (r) (обычно функции р(r) и (r) оценива­ются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, прода­жа) излишка продукта требует дополнительных затрат с₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₃ на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохасти­ческих моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее зна­чение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе г, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

(6.28)

В выражении (6.28) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s – r единиц продукта (при r  5), а второе слагаемое – штраф за дефицит на r – s единиц продукта (при r > s).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плот­ностью вероятностей (r), выражение C(s) принимает вид:

(6.29)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (16.28) или (16.29) принимает минимальное значение.

Доказано, что при дискретном слу­чайном спросе r выражение (16.28) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам

F(s₀) < р < F(s₀ + 1), (6.30)

а при непрерывном случайном спросе r выражение (6.29) мини­мально при значении s₀, определяемом из уравнения

F(s₀) =, (6.31)

где

F(s) = p(r < s) (6.32)

есть функция распределения спроса r, F(s₀) и F(s₀ +1) — ее значения; р — плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (16.24).

Учитываем только расходы на неиспользованные единицы продукта.

Оптимальный запас s₀ при непрерывном спросе по данному значению р может быть найден и графически (рисунок 6.4).

Задача 6.6. Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в 100 ден. ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, по­требовавших замену, представлено в таблице 6.1.

Таблица 6.1

Число замененных блоков r	0	1	2	3	4	5	6
Статистическая вероятность (доля) агрегатов р(r), которым потребовалась замена r блоков	0,90	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01	0,00

Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с агрегатом.

Решение. По условию с₂ = 5, с₃ = 100. Вычислим плотность убытков из-за нехватки запасных блоков по формуле (6.24)  = 100/(5+100) = 0,952.

Учитывая (6.32), найдем значения функции распределения спроса (табл. 6.2).

Таблица 6.2

s	0	1	2	3	4	5	6	>6
r	0	1	2	3	4	5	6	>6
F(s)	0,00	0,00	0,90	0,95	0,97	0,98	0,99	1,00

Очевидно (табл. 6.2), что оптимальный запас составит s₀ = 3, ибо он удовлетворяет неравенству (6.30): F(3) < 0,952 < F(4).

Задача 6.7. Решить задачу 6.6 при условии непрерывного случайного спроса r, распределенного по показательному закону с функцией распределения

при  = 0,98.

Р ешение. Оптимальное число запасных блоков S₀ найдем из уравнения (6.31) и

о ткуда

При  = 0,98 s₀ = -(1/0,98)ln( 0,02 ) = 4 (блока).

В условиях рассматриваемой модели предположим, что рас­ходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интен­сивностью. Такую ситуацию можно представить графически (рис. 16.5).

Рис.6.5. Стохастические модели

Рис. 6.5, а соответствует случаю r < s , когда спрос не превос­ходит запаса, а рис. 6.5, б — случаю, когда спрос превышает за­пас, т.е. r > s. Следует отметить, что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рис. 16.5 пунктиром, но для исследования модели нам проще рассматри­вать J(t) в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.

Средний запас, соответствующий рис. 6.5, а, равен

Средний запас, соответствующий рис. 16.6, б с учетом форму­лы (16.17), в которой полагаем п r, составляет

Средний дефицит продукта за период t₂ для случая, соответст­вующего

рис. 6.5 б с учетом (6.17), где п = r, равен

Математическое ожидание суммарных затрат составит:

Доказано, что в этом случае математическое ожидание (6.36) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенству

где р по-прежнему определяется по формуле (6.24):

l(s₀) и l(s₀ + 1) — значения функции (6.38), a F(s) находится в соответствии с определением (6.32).

Задача 6.8. Имеющиеся на складе изделия равномерно расходуются в течение месяца. Затраты на хранение одного изделия составляют 5 ден. ед., а.штраф за дефицит одного изделия обходится в 100 ден. ед. Изучение спроса дало распре-деление числа потребляемых за месяц изделий, представленное в табл. 16.3.

Таблица 16.3

Спрос r	0	1	2	3	4	5	6
Статистическая вероятность р(r)	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1	0,0

Необходимо, определить оптимальный месячный запас склада. Решение. Так же как в задаче 16.6, c₂ = 5, c₃ = 100,  = 0,952. Значения функции L(r) определим с помощью таблицы 6.4.

Таблица 6.4

s	r	p(r)				T(r)	L(r)
0	0	0,1	—	—	—	0,0	—
1	1	0,2	0,200	0,445	0,2225	0,1	0,3225
2	2	0,2	0,100	0,245	0,3675	0,3	0,6675
3	3	0,3	0,100	0,145	0,3625	0,5	0,8625
4	4	0,1	0,025	0,045	0,1575	0,8	0,9575
5	5	0,1	0,020	0,020	0,0900	0,9	0,9900
>6	>6	0,0	0,000	0,000	0,0000	1,0	1,0000

Очевидно, что оптимальный запас изделий s₀ = 3, ибо он удов­летворяет условию (16.37): L(3) < 0,952 < L(4).