8.3. Проектирование маршрутов методом сумм
Метод сумм является одним из наиболее простых приближенных методов решения задачи рационального объезда точек на маршруте (эта задача еще называется задачей коммивояжера). Решение этой задачи проектирования маршрута при большем чем четыре количеством пунктов, рассмотрим на конкретном примере.
Пример 8.2. Имеется заявка на перевозку груза с условиями: необходимо доставить груз шести потребителям; потребность в грузе qж = 600 кг; q3 = 200 кг; qи = 400 кг; qк = 500 кг; qл = 400 кг; qм = 400 кг.
Известны адреса клиентов, поставщика и их взаимное расположение; грузы транспортно-однородны; затраты времени на погрузку-выгрузку 1 т груза τпв=0,1 т/ч; среднее время на нахождение в пункте маршрута t3=0,1 ч; условия эксплуатации – город, Vт=25 км/ч. Взаимное расположение поставщика и потребителей представлено на рис. 8.3.
Решение задачи
Пусть все пункты, указанные на рис. 8.3, называются вершинами сети, а линия, соединяющая две соседних вершины, - звеном. Незамкнутая сеть, связывающая две и более вершины с минимальной суммарной длиной всех соединяющих их звеньев, называется кратчайшей связывающей сетью. Данная сеть находится следующим образом. На транспортной сети (см. рис. 8.3) находят наименьшее звено. В данном случае звено К-Л = 2 км. Затем рассматривают все звенья, связанные с одной из своих вершин с выбранным звеном, т. е. звенья
К - М = 5; К - И = 2; К - 3 = 6; К - Ж = 7; Л - Ж = 6; Л - И = 3; Л - З = 7. Из них выбирают звено с наименьшим расстоянием К - И = 2. Далее рассматриваются звенья, связанные с вершинами полученной линии И-К-Л, и из них выбирается наименьшее. При этом нельзя выбирать звено, соединяющее две ранее включенные в сеть вершины. Таким звеном является И-Л, несмотря на то что оно наименьшее из всех, связанных с выбранной сетью И-К-Л одной из вершин, его нельзя включить в кратчайшую связывающую сеть. Другими звеньями, связанными своими вершинами с уже выбранной сетью, являются
звенья М-К, З-К, И-З, И-Ж, И-А, И-М, Л-Ж, Л-З, звено И-З имеет наименьшее расстояние, равное 4, и в этом случае получим сеть З-И-К-Л.
Далее опять рассматривают все звенья, связанные с вершинами полученной сети З-И-К-Л. Звенья И-Ж и К-М имеют одинаковую длину, равную 5, берем любое, например К-М. Получаем сеть З- И-К-М (К-Л). Далее опять рассматривают все звенья, связанные с вершинами полученной сети, и из них выбирают наименьшее и так далее до тех пор, пока не будет выбрана сеть. На рис. 8.4 представлена кратчайшая связывающая сеть рассматриваемого примера, где также проставлена потребность пунктов в грузе (+).
Далее все пункты маршрута, начиная с А, связываются такой замкнутой линией, которая соответствует кратчайшему пути объезда этих пунктов. Первоначально при использовании метода сумм строится таблица, называемая симметричной матрицей. Для маршрута АЖЗИКЛМ она приведена в табл. 8.3.
Таблица 8.3
Симметричная матрица для маршрута АЖЗИКЛМ
-
А
6
6
5
7
8
11
6
Ж
8
5
7
6
11
6
8
З
4
6
7
6
5
5
4
И
2
3
6
7
7
6
2
К
2
5
8
6
7
3
2
Л
7
11
11
6
6
5
7
М
43
43
37
21
27
33
46
По главной диагонали в ней расположены пункты, включаемые в маршрут. Цифры в табл. 8.3 показывают расстояния между этими пунктами. Дополнительно в этой матрице имеется итоговая строка – строка сумм. В ней проставляют сумму расстояния по каждому столбцу. Затем строят начальный маршрут из трех пунктов, имеющих максимальную сумму по своему столбцу. В табл. 8.3 максимальные суммы имеют столбцы А, Ж, М. Принимаем маршрут АЖМА. В него включают следующий пункт с максимальной суммой, т. е. пункт З. Чтобы определить, между какими пунктами его следует вставить, надо поочередно включать этот пункт между каждой парой АЖ,ЖМ, МА. При этом для каждой пары этих пунктов находят величину прироста пробега автомобиля на маршруте при включении в начальный маршрут вновь выбранного пункта. Величину этого прироста ∆кр находят по формуле
∆кр = L13 + L23 – L12,
где L – расстояние; 1 – первый соседний пункт; 2 – второй соседний пункт; 3 – включаемый пункт.
В рассматриваемом примере в начальном маршруте (1=А, 2=Ж, 3=З) для первых двух соседних пунктов АЖ: ∆АЖ = LАЖ + LЗЖ – LАЖ. Соответствующие расстояния между пунктами берем из табл. 8.3: ∆АЖ = 6+8-6=8; ∆ЖМ = 8+6-11=3; ∆МА = 6+6-11=1. Из всех полученных ∆ выбирают минимальное значение и между соответствующими пунктами вставляют данный пункт. В данном случае минимальный ∆МА, поэтому получаем маршрут АЖМЗА. Вновь в табл. 8.3 находят не принимавшийся в расчет пункт с максимальной суммой по столбцу: это пункт Л. Все дальнейшие расчеты производятся так же, как было указано выше: ∆АЖ = 8+6-6=8; ∆ЖМ = 6+7-11=2; ∆МЗ = 7+7-6=8; ∆ЗА = 7+8-6=9. Как видно из расчетов, наименьшее расстояние ∆ЖМ, поэтому пункт Л включается между ЖМ и получается маршрут АЖЛМЗА. Выполнив аналогичные расчеты для пунктов К и И, получаем маршрут объезда АЖИЛКМЗА, протяженность которого составляет 33 км. Можно утверждать, что полученная последовательность объезда пунктов маршрута дает меньший или весьма близкий к наименьшему путь движения. На рис. 8.5 представлены схемы движения автомобилей по маршрутам АЖИЛКМЗА и АЗМКЛИЖА. Результаты расчета грузооборота представлены в табл. 8.4.
Таблица 8.4