Исходный базовый вариант для определения кратчайших расстояний между пунктами модели (рис. 6.2)
-
Пункт
Вспомо-
гатель-
ные
Пункт
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
С трока
Столбец
0=
V1
12=
V2
18=
V3
4=
V4
11=
V5
8=
V6
16=
V7
15=
V8
А1
U1 = 0
12
4
8
А2
U 2 =12
12
6
7
8
А3
U3 =18
6
6
9
А4
U 4 = 4
4
7
7
6
А5
U 5 =11
8
6
7
8
5
7
А6
U 6 = 8
8
6
8
7
А7
U 7 =16
9
5
6
А8
U 8 =15
7
7
6
Таблица 6.5
Оптимальное решение для определения кратчайших расстояний между пунктом а1 и всеми остальными для модели (рис. 6.2)
-
Пункт
Вспомо-
гатель-
ные
Пункт
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
С трока
Столбец
V1 = 0
V2 =11
V3 =17
V4 = 4
V5 =11
V6 = 8
V7 = 16
V8 = 15
А1
U1 =0
12
4
8
А2
U2 =11
12
6
7
8
А3
U3 =17
6
6
9
А4
U4 =4
4
7
7
6
А5
U5 =11
8
6
7
8
5
7
А6
U6 =8
8
6
8
7
А7
U7 =16
9
5
6
А8
U8 =15
7
7
6
Теперь можно
определить индекс
,
а затем и
:
Таким образом найдены все индексы и получен базовый вариант (табл. 6.4), для дальнейшего расчета кратчайших расстояний от пункта А1 до всех остальных. Приступаем к проверке оптимальности данного решения по правилу (6.10).
Проверяем каждую
заполненную клетку табл. 6.4, сравнивая
её
В
табл. 6.4
<
,
т. е. 7<12-4, следовательно, данное решение
не является оптимальным.
Рассчитываем новый индекс υ 2 по формуле (6): υ2 = u4+ l42 = 4+7 = 11 и
u2= υ2=11. Проверка показывает, что и это решение не является оптимальным, поскольку l53<υ3-u5 (6<18-11). Определив новый индекс u3= υ53=11+6=17 и индекс u3= υ3=17, получаем еще одно решение (табл. 6.5). Поскольку здесь соблюдается условие оптимальности (6.10), т. е. все расстояния меньше разности соответствующих им индексов, решение является оптимальным и, следовательно, кратчайшее расстояние от А1 до всех остальных пунктов задано числами υ2, υ3, υ4, υ5, υ6, υ7 и υ8, т.е. от А1 до А2 – 11 км, до А3 – 17 км, до А4 – 4 км, до А5 – 11 км, до А6 – 8 км, до А7 – 16 км и до А8 – 15 км.
Табл. 6.5 с оптимальным решением дает не только кратчайшие расстояния между А1 и Аj пунктами, но и последовательность прохождения промежуточных пунктов, т. е. кратчайший маршрут. Пусть необходимо определить кратчайший маршрут из пункта А1 в пункт А7. Порядок работы следующий.
В столбце А7, соответствующем конечному пункту маршрута, отыскиваем заполненную клетку, у которой расстояние равно разности индексов столбца и строки (lij = Vj - Ui). Такая клетка в рассматриваемом столбце всегда имеется (если таких клеток в столбце несколько, можно принять любую из них), в нашем примере – это А5 А7. Она обозначает последнее звено искомого маршрута – звено А5 А7. Для определения предпоследнего звена эта операция повторяется для пункта А5, который является конечным для предпоследнего звена. В столбце А5 расстояние равно разности индексов υ и u в клетке А4А5 (l45 = υ5 – u4. т.е. 7=11-4). Таким образом, предпоследним звеном маршрута будет А4 А5. Повторив процесс для пункта А4, находим звено А1 А4, предшествующее звену А4 А5. В результате кратчайший маршрут из пункта А1 в пункт А7 найден:
Аi→А4→А5→А7.
Итак, мы определили кратчайшее расстояние от пункта А1 до всех остальных пунктов А2,А3,…А8. Проделав теперь показанные вычисления последовательно для каждого пункта А2,А3,…А8, принимая последовательно u2=0, затем u3=0 и т. д., получим матрицу ║lij║ кратчайших расстояний по сети
Таблица 6.6