2.2. Вычисления парной корреляции и линейной регрессии

Простейшим уравнением, описывающим зависимость между двумя переменными Х и У, является линейное уравнение (уравнение регрессии)

у = а + b х, (2.1)

где а – начальная координата; b – тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, называемый коэффициентом регрессии.

Координаты средней арифметической точки на графике определяются из уравнений, где n – число точек:

, .

Общая колеблемость значений, вызванная действующими на нее факторами, включая исследуемый, характеризуется общей дисперсией σ²_у, которая представляет собой средний квадрат отклонений фактических значений признака y от их средней арифметической:

.

Колеблемость фактических значений около теоретической линии регрессии (линии, связующей переменные y и x), вызванная влиянием других факторов кроме исследуемого, характеризуется дисперсией σ²_ух,1, или средним квадратом отклонений фактических значений признака y от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессий:

.

Отклонения расчетных значений признака , вызванных непосредственно фактором x, характеризуется дисперсией σ²_ух точек теоретической линии регрессии вокруг средней арифметической:

.

Общая дисперсия соответствует сумме частных дисперсий:

_.

Следовательно, чем теснее корреляционная связь между признакам y и переменной x, тем больше дисперсия σ²_ух будет стремиться к значению общей дисперсии, а частная дисперсия σ²_ух1 будет стремиться к нулю.

Коэффициент корреляции r рассчитывается по следующему выражению:

, (2.2)

где σ_ух - среднее квадратичное отклонение теоретических значений у, вычисленных по уравнению регрессии, от средней арифметической; σ_у – среднее квадратичное отклонение фактических значений у от средней арифметической.

Коэффициент корреляции r количественно характеризует тесноту связи и изменяется в пределах от нуля до единицы (знаки «+» или «-» значений не имеют). Теснота связи оценивается следующим образом.

Теснота (сила) корреляционной связи	Величины коэффициента корреляции r или корреляционного отношения ή
Слабая Умеренная Заметная Высокая Полная	0,1…0,3 0,3…0,5 0,5…0,7 0,7…0,9 0,9…0,99

Обычно считают тесноту связи удовлетворительной при величинах r ≥ 0,5. Различают также коэффициент множественной корреляции между одной зависимой переменной у и несколькими независимыми х₁, х₂…х_n .

Квадрат коэффициента корреляции называют коэффициентом детерминации ∂:

∂ = r² . (2.3)

Коэффициент детерминации ∂ показывает, какая часть вариации зависимой переменной у обусловливается независимой переменной x.

С коэффициентом корреляции связан коэффициент парной регрессии, вычисляемый по формуле

ρ_xy . (2.4)

Рассмотрим применение корреляционно-регрессионного анализа в решении транспортных задач на конкретных примерах.

Пример 2.1. На автотранспортном предприятии (АТП) эксплуатируется парк - 18 автомобилей конкретной марки. Все автомобили прошли капитальные ремонты: треть парка – один ремонт, треть – два и треть – три ремонта. За время эксплуатации в течение одного года поквартально было зарегистрировано следующее число отказов (выходов из строя) автомобилей в эксплуатации. При фиксации и анализе для облегчения выполнения расчетов используется понятие частость событий, что является общепринятым при расчетах.

В группе автомобилей после первого капитального ремонта всего 28 отказов, из них поквартально: в 1-м 2 отказа один раз; во 2-м по 4 отказа два раза; в 3-м по 6 отказов 3 раза; в 4-м отказов не было. Среднее арифметическое число отказов по этой группе

.

В группе автомобилей после второго капитального ремонта были 21 отказ, из них поквартально: в 1-м по 2 отказа 2 раза; во 2-м по 1 отказу 3 раза; в 3-м по 2 отказа 4 раза; в 4-м 6 отказов 1 раз.

Среднее арифметическое число отказов по этой группе составило

.

В группе автомобилей после третьего ремонта были 37 отказов в эксплуатации, из них поквартально: в 1-м по 3 отказа 1 раз; во 2-м по 6 отказов 1 раз; в 3-м по 7 отказов 2 раза; в 4-м по 8 отказов 2 раза.

Среднее число отказов по группе составило

.

Всего в АТП были зафиксированы 88 случаев отказов автомобилей в эксплуатации.

Требуется

Составить аналитическую модель (уравнение регрессии), устанавливающую зависимость числа отказов автомобилей в эксплуатации от числа предшествовавших капитальных ремонтов.

Вычислить коэффициент корреляции и установить тесноту зависимости отказов автомобилей от числа предшествовавших ремонтов.

Решение

Опытные и расчетные данные наносим на рис. 2.2. По трем средним арифметическим числам отказов строим опытную линию регрессии. Рассматривая опытную линию, делаем заключение, что аппроксимацию указанной опытной линии следует производить прямой линией (2.1).

Вычисляем среднее арифметическое число отказов автомобилей:

.

Вычисляем среднее арифметическое число капитальных ремонтов автомобилей:

.

Находим общие несмещенные дисперсии по каждому из признаков:

.

Находим средние квадратичные отклонения по каждому из признаков:

.

Находим несменный момент связи рассматриваемых двух признаков:

Находим коэффициент корреляции:

r .

Находим коэффициенты теоретического регрессионного уравнения (2.1):

;

.

Теоретическое регрессионное уравнение (аналитическая модель) имеет вид

у = 2,72 + 1,08 х . (2.5)

Наносим это уравнение на график рис. 2.2 по точкам:

если х = 1, то у = 2,72 + 1,08 = 3,84;

если х = 3, то у = 2,72 + 3,24 = 5,96.

Возведя коэффициент корреляции в квадрат получаем величину коэффициента детерминации:

∂ = r² = (0,465)² = 0,216 = 21,6 %.