Симплексная таблица с первоначальным допустимым базисным решением задачи

ci	Базисные переменные	cj	c1	c2	….	cm	cm+1	….	cn
		План	х1	x	….	xm	xm+1	….	xn
c1 c2 cm	х1 х2 хm	b1 b2 bm	1 0 0	0 1 0	…. …. ….	0 0 1	a1m+1 a2m+1 amm+1	…. …. ….	a1n a2n1 amn
Индексная строка ∆j = zj - cj		L (x)	0	0	….	0	∆m+1	….	∆n

Таблица 3.2

Первоначальная симплексная таблица для решения задачи по перевозке грузов

ci	Базисные переменные	cj	0	0	2	-4
		План	х1	x2	x3	x4
0 0	х1 х2	6 12	1 0	0 1	3 1	2 3
Индексная строка ∆j = zj – cj		L(x)=0	0	0	-2	4

Таблица 3.3

Вторая симплексная таблица для решения задачи по перевозке грузов

ci	Базисные переменные	cj	0	0	2	-4
		План	х1	x2	x3	x4
-4 0	Х4 х2	3 3	1/2 -3/2	0 1	3/2 -7/2	1 0
Индексная строка ∆j = zj - cj		L(x)= -12	-2	0	-8	0

Если a_ij – коэффициент симплексной таблицы i-й строки j–го столбца, а c_j – коэффициент целевой функции i-й базисной переменной, то

.

В первую симплексную таблицу (табл. 3.1) заносят первоначальное допустимое базисное решение задачи:

∆₁ = z₁ – c₁ = c₁ - c₁ = 0;

∆₁ = z₂ – c₂ = c₂ – c₂ = 0;

………………………...

∆_m = z_m – c_m = c_m – c_m = 0;

∆_m+1 = с₁a_1m+1 + с₂a_2m+1 + …+ c_m a_mm+1 – c_m+1;

………………………………………………....

∆_n = c₁ + a_1n + с₂a_2n … + c_m a_mn – c_n.

Первым шагом в анализе первоначального допустимого базисного решения является проверка его на оптимальность, заключающаяся в отыскании в индексной строке таблицы наименьшей положительной оценки ∆_j. .Допустим, что наименьшим положительным элементом последней строки табл. 3.1 будет ∆_m+1, если окажется несколько равных минимальных положительных элементов, то можно выбрать любое из них. Если же в индексной строке положительных чисел нет, то это значит, что получено оптимальное решение.

Столбец с наименьшей положительной оценкой в индексной строке называется разрешающим, а переменная столбца должна вводиться в базис.

Чтобы установить переменную, которая должна быть выведена из базиса, определяют отношения свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Строка с наименьшим отношением называется разрешающей, а переменная этой строки выводится из базиса. Если окажется несколько равных наименьших отношений свободных членов к коэффициентам разрешающего столбца, то следует брать отношение с наибольшим знаменателем.

Пусть минимальным из этих отношений будет b₂/a_2m+1. Следует отметить, что если при какой-либо свободной переменной нет ни одного положительного коэффициента a_ij, то решение системы будет неотрицательным при любом положительном значении этой переменной, т. е. оно не ограничено сверху.

Элемент таблицы, находящийся на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим элементом. В нашем примере это коэффициент a_2m+1.

Итак, мы установили, что из базиса следует вывести переменную х₂, а вместо нее ввести переменную x_m+1. Для этого следует перейти от первой симплексной таблицы ко второй и т. д.

Значение исходной целевой функции в новом базисе уменьшилось, т. е.

L_нов < L_исх/

Следовательно, в результате преобразований симплекс-таблицы по алгоритму симплекс-метода достигнуто снижение целевой функции, что и являлось целью задачи.

Сформулируем основные правила симплексного метода линейного программирования (при решении задачи на минимум):

1) систему ограничений задачи линейного программирования необходимо решить относительно какого-либо базиса. Выразить целевую функцию через свободные переменные;

2) составить симплексную таблицу. Если в индексной строке все элементы отрицательны, то базисное решение оптимально. Задача решена;

3) если в индексной строке симплекс-таблицы есть положительные элементы, то столбец, соответствующий минимальному из них, принимается за разрешающий. Составляются отношения элементов столбца свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Строка, соответствующая минимальному из этих отношений, является разрешающей. Элемент таблицы, находящийся на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим;

4) переходить к новому базису следует, исключая из старого базиса переменную, соответствующую разрешающей строке, вводя вместо нее переменную, которая соответствует разрешающему столбцу. Составляется новая симплекс-таблица, соответствующая новому базису. Возвращаемся к п. 2.Рассмотрим решение задачи симплексным методом на конкретном примере.

Пример 3.2. Подвижной состав автотранспортного предприятия включает грузовые автомобили 4 разных моделей. Обозначим х₁ – модели ЗИЛ-47, х₂ – УАЗ-37, х₃ – ГАЗ-37 и х₄ – ГЗСА-37. Нужно выбрать модели и количество автомобилей для перевозки груза среди имеющихся. Показателем качества перевозки является комплексный критерий, учитывающий несколько характеристик автомобилей. Процесс перевозки (математическая модель) имеет вид системы уравнений

х₁ + 3х₃ + 2х₄ = 6;

(3.4)

х₂ + х₃ + 3х₄ = 12.

Базисными переменными являются х₁ и х₂, имеющие коэффициенты, равные1.

Нужно найти решение системы уравнений (3.4), которое минимизирует целевую функцию

L = 2x₃ +4x₄ → min.

Минимум целевой функции дает наилучшее значение качества перевозок. Решим систему уравнений (3.4) относительно базовых переменных:

х₁ = 6 – (3х_{3 +} 2х₄);

х₂ = 12– (х_{3 +} 3х₄).

Линейная форма останется без изменений, так как базисные переменные в нее не входят.

Составим симплекс-таблицу (табл. 3.2).

Первое базисное решение х₁ = 6, х₂ = 12, х₃ = 0, х₄ = 0. При этом линейная форма L =0.

Проверим, является ли полученное решение оптимальным. Для этого вычислим оценки индексной строки:

∆_{j =} z_j - c_j =

∆₁ = 0·1 + 0·0-0 = 0;

∆₂ = 0·0 + 0·1-0 = 0;

∆₃ = 0 ·3 + 0 ·1-2 = -2;

∆₄ = 0 ·2 + 0 ·3-(-4) = 4.

В индексной строке есть одна положительная оценка, равная 4. Это значит, что данное базисное решение не является оптимальным и может быть улучшено введением в базис переменной из числа свободных.

Разрешающим является столбец, соответствующий переменной х₄ .Она и должна вводиться в базис.

Чтобы определить разрешающую строку, разделим свободные члены на положительные элементы разрешающего столбца и выберем из этих отношений минимальное. Оно равно 3 в строке, соответствующей переменной х₁. Эта строка является разрешающей, а переменная х₁ должна быть выведена из базиса. Разрешающий элемент - 2.

При построении второй симплекс-таблицы (табл. 3.3) преобразования начинаются с разрешающей строки, элементы которой делятся на разрешающий элемент.

Остальные элементы новой симплекс-таблицы определяются по правилу прямоугольника. Например, для клетки х₁ х₂ новый элемент равен

и т. д.

Оценки индексной строки определяются

∆_j =

∆₁ = (-4) ·

∆₂ = (-4) ·0 + 0 ·1 – 0 = 0;

∆₃= (-4) · + 0 (- ) – 2 = -8;

∆₄= (-4) ·1 + 0 ·01 – (-4) = 0.

Проверим правильность вычислений, для чего рассчитаем оценки методом прямоугольника:

∆₁ = 0 - = -2; ∆₃ = (-2) - = -8;

∆₂= 0 - = 0; ∆₄ = 4 - = 0.

Значения оценок совпали, значит, вычисления выполнены правильно.

Отсутствие положительных элементов в последней строке таблицы является признаком оптимальности решения. Следовательно, оптимальным является решение

х₁ = 0; х₂ = 3; х₃ = 0; х₄= 3.

Минимальное значение целевой функции

L (x) =2x₃ - 4 x₄ = 2·0 - 4·3 = -12.

Решение примерно окончено. Для выполнения перевозок выбираются 3 автомобиля модели УАЗ-37 и 3 автомобиля модели ГЗСА-37.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте общее понятие и главные особенности линейного программирования.

2. Сформулируйте понятия базисное и допустимое решения системы линейных уравнений.

3.Сформулируйте понятие двойственность задачи линейного программирования.

4. Охарактеризуйте область применения графоаналитического метода при решениях задач линейного программирования.

5. Сформулируйте общую идею симплексного метода решения задач линейного программирования.