Решение:

1. До коммутации: i_L=0.

2. Независимые начальные условия: i_L(0_–) = i_L(0₊)=0.

3. Линейные дифференциальные уравнения:

4. Принужденная составляющая:

.

5. Свободная составляющая.

характеристическое уравнение:

6. Полная запись в общем виде:

.

7. Постоянные интегрирования:

;

при t=0₊: .

8. 

Значит,

.

При t=0: u_L(0)=0 и h(0)=0 .

Получается: A = –0.5 и h(t) = 0.5(1 – e^–357t ) .

u(t) = 100(1 – 800t) – уравнение напряжения источника .

Применим формулу Дюамеля:

0 t 2.5 мс:

t > 2.5 мс:

.

Кривая i_L:

i_L(t)

8.75

2.5

1.06 2.2 t

-4.5

Рис. 5.21

Существует еще один вид внешнего воздействия, называемый единичным импульсом, дельта-функцией (t) или функцией Дирака, которая определяется как производная по времени единичной функции:

и представляет собой предельный случай импульса очень большого значения и малой продолжительности (длительность стремится к 0, а площадь сохраняется равной 1).

(t)

0 t

Рис. 5.22

Действительно:

S_{ед. имп.} =

(В теории обобщенных функций эти операции достаточно строго обоснованы).

Импульсной характеристикой системы (импульсной переходной функцией) называется реакция цепи на воздействие единичного импульса, а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Поскольку 1(t) и (t) связаны, то при h(0₊)=0:

.

В случае, если h(0₊)0:

. (*)

Пример:

r

C

Рис. 5.23

При включении RC цепи на единичный импульс напряжения, если в качестве выходной величины (отклика) рассматривать ток, то

Т.к. при t = 0 в составе приложенного напряжения имеется дльта функция, в этот момент по 2 закону коммутации U_C (0₊ )=0 , то дельта функция должна быть и в составе тока, что и объясняет наличие 2-го слагаеиого в (*).

Запись интеграла дюамеля при помощи импульсной переходной характеристики.

Пусть на входе пассивной системы или цепи действует источник непрерывно изменяющегося напряжения u₁(t) (или тока). Определим реакцию на выходе. Например, ток в момент

времени t.

u₁(t)

u₁()

t– = ₁ t

Рис. 5.24

Решение:

Разобьем кривую u₁(t) на импульсы шириной d и высотой u₁(). Для единичного импульса, действующего в момент времени , реакция на выходе k(t–) – импульсная переходная характеристика, где (t–) – промежуток времени от момента до t. Но S_имп 1, а равна u₁() d. Поэтому реакция на выходе от него равна k(t–) u₁()^.d. Суммируя действия всех импульсов, каждый из которых имеет бесконечно малую площадь, от =0 до =t, получаем реакцию на выходе.

;

(_*’)

(с учетом теоремы свертки)

Рассмотрим воздействие произвольной формы, представленное на рис. 5.25. В момент от 0 до t₁, используем вышенаписанные формулы (_*’).

u(t)

u₁(t)

u₂(t₂)

t₁ t₂ t

u₂(t)

В промежутке t₁<t<t₂:

или

с помощью теоремы свертки:

.

При t>t₂ верхний предел t у второго интеграла заменяем на t₂.

Метод интеграла Дюамеля целесообразно применять в тех случаях, когда известна или легко находится реакция на единичную функцию, а воздействующая функция имеет кусочно-аналитическую форму.

Пример1:

Считая известными элементы R L для цепи, представленно на рис. 5.26 определить переходную и импульсную характеристики в режиме холостого кода на зажимах 2 – 2’. Внешнее воздействие на цепь – напряжение на зажимах 1–1’ x(t)=U₁. Реакция цепи – напряжение на зажимах 2–2’ y(t)=U₂.

1 2

I₁ R I₂

U₁ L U₂

1’ I₁ I₂ 2’

Рис. 5.26