Тема 4.5. Погрешность функций оценивания

Тема 4.5.1. Оценка точности нахождения комплексного показателя качества

Погрешности, встречающиеся при решении основных задач квалиметрии, могут быть отнесены к нескольким группам.

1. Погрешность метода. Математическая модель комплексного оценивания качества объекта практически не может отображать реальной оценки качества. Сделанные допущения и ограничения упрощают математическую модель, но в результате возникает погрешность метода. Одним из возможных путей в оценке погрешности метода может быть сравнение предсказаний математической модели с результатами реальных статистических испытаний.

2. Начальные погрешности. Такие погрешности связаны с наличием в математических моделях (аналитических зависимостях) числовых параметров, значения которых могут быть определены с известным или неизвестным приближением, например, коэффициенты весомости (или важности) единичных показателей качества.

3. Остаточные погрешности. Погрешности этой группы возникают в результате того, что функции, используемые в математических моделях, как правило, задаются в виде конечных последовательностей составляющих, что вынуждает остановиться на конкретном члене последовательности. Иными словами, при вычислении комплексной оценки используются лишь наиболее важные показатели качества, а какие-то из них, второстепенные с точки зрения сторон оценивания, неизбежно будут исключаться из расчета.

4. Вычислительные погрешности. Погрешности этой группы связаны с действиями над приближенными числами. Их источником является форма представления чисел в современных ЭВМ. Так, число при отведении на него 4 байт памяти ЭВМ представит как 0,3333333, т.е. погрешность составит 0,0000000(3). Далее, использование при расчетах на компьютере таких функций, как тригонометрические, показательные, логарифмические также является источником погрешности. Дело в том, что такие функции подсчитываются с помощью разложения в ряд Фурье с некоторым остаточным членом Rn, который составляет величину ошибки. Например, функция ex при вычисляется компьютером как

. (4.45)

Вычислительные погрешности являются трудно устранимыми и переходят в конечный результат комплексной оценки.

5. Методические погрешности. Эти погрешности возникают в результате принятой или заданной процедуры вычислительных действий, содержащей в себе определенные допущения и упрощения: процедуры определения коэффициентов весомости, градаций диапазона измерений, числа интервалов диапазона измерений, показателя информативности и др. Например, градация мер может содержать меры 0,95 и 0,975. Реальный безразмерный показатель скорее соответствует оценке 0,97, однако получит оценку 0,975, что приведет к возникновению методической погрешности.

Различают погрешности абсолютные и относительные.

Абсолютная погрешность – это разность между расчетным и условно – истинным значением комплексной оценки

Δ = – , (4.46)

где – условно – истинное значение комплексной оценки,

– расчетное значение комплексной оценки.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к условно – истинному значению комплексной оценки

. (4.47)

Относительная погрешность измеряется в относительных долях или процентах.

Основная трудность вычисления погрешности Δ комплексной оценки качества заключается в том, что остается неизвестным условно – истинное значение, на котором также сказывается неопределенность набора коэффициентов весомости. Исходя из этого, информацию о расчетной величине следует представить интервалом, в котором с заданной вероятностью Р_v будет находиться Q. Ширину этого интервала Δ определяют, как правило, с помощью критерия Стьюдента. С учетом этого результат расчета представляют в виде .

В квалиметрии предпочтительно применение абсолютной погрешности, поскольку единый диапазон оценок принят от нуля до единицы.

В зависимости от причин возникновения погрешностей условно выделяют систематические и случайные погрешности, тогда результирующая погрешность .

К систематическим относят остаточные, начальные и методические погрешности, которые возможно выявить и учесть в конечных результатах.

В отличие от систематических случайные погрешности исключить из условно – истинной оценки нельзя; они учитываются с помощью доверительного интервала.

Проявление случайных погрешностей возможно при проведении многократных расчетов с различными наборами допусков на коэффициенты весомости q_i и относительных величин единичных показателей качества p_i.

Для решения практических задач погрешности аппроксимируют стандартными функциями плотности вероятностей, из которых наиболее часто используют модель нормального закона, поскольку наличие погрешностей обуславливается большим числом случайных факторов с примерно равной их долей в общей погрешности.