Тема 4.4. Информационный анализ функций оценивания

В системе косвенного количественного оценивания качества объекта (продукта) по выбранному комплексу информации определяющее значение имеет аналитическое выражение функции оценивания. Если функцию оценивания понимать как инструмент обработки комплекса информации об объекте, то представляется возможным применить общие подходы теории информации к задачам систематизированного анализа и синтеза этой функции.

Рассмотрим типичный случай, когда комплекс входной информации об объекте представлен конечным рядом его единичных показателей , включающим в себя показатели минимальное и максимальное . При этом размах единичных показателей составит

. (4.28)

После обработки входной информации в функции оценивания можем получить условно - реальные (условно - истинные) предельные значения и (или точную величину ) и условно – реальный (условно – истинный) интервал

. (4.29)

Согласно теории информации можно принять, что неопределенность случайной величины Q с начальным объемом информации по зависимости (4.28) определяется как энтропия комплекса этой информации

(4.30)

где - функция плотности распределения единичных показателей.

В случае равномерного закона распределения величин

(4.31)

выражение (4.30) примет вид

. (4.32)

После обработки комплекса информации в принятой функции оценивания и получения условно – реального интервала (4.29) послерасчетная неопределенность выходной информации характеризуется мерой

. (4.33)

С учетом (4.32) и (4.33) неопределенность входной информации уменьшилась на величину

. (4.34)

Величина I выступает в этом случае как мера информативности функции оценивания.

Численное значение I можно понимать как меру количества (объема) информации, полученную после ее обработки в функции оценивания. Однако полезно было бы знать характеристику доверия, с которой получено значение в ходе вычислительных процедур. Например, для объекта с конечным значением ряда единичных показателей известны и . Величина исходного интервала неопределенности . После обработки этой исходной информации в двух функциях оценивания получили две оценки и . Как видно из приведенных данных, погрешность двух расчетных оценок одинакова , исходная неопределенность уменьшилась в три раза с 0,3 до 0,1, но убедительного доверия к оценкам не прибавилось, поскольку осталось неизвестным, какое количество информации было переработано в каждой из этих двух функций оценивания при расчете и .

Для решения задачи оценки эффективности переработки информации некоторой функцией оценивания, а, соответственно, и степени доверия к результатам оценивания, можно принять, что степень доверия пропорциональна сложности и развернутости вычислительных операций в данной функции оценивания. При этом необходимо дать определение элементу (единице) информации. Элементом информации следует считать:

 символ – обозначение, входящий как аргумент функции оценивания;

 символ математической операции;

 символ решения (выбора);

 символ прочих вычислительных операций.

Поскольку обработка информации – это прежде всего действия с символами (как это принято в математической теории связи), то в квалиметрии за элемент информации целесообразно принять обобщенное понятие степень свободы Z, охватывающее перечисленные символы. Обработка информации функцией оценивания соответствует переходу от входной информации (со степенью свободы Z_H) к обработанной (со степенью свободы Z_K). Принимается, что

, (4.35)

где l – число единичных показателей, а равна числу элементов информации в функции оценивания, т.е. суммарному числу символов и действий над ними.

Анализ показывает, что известные функции оценивания характеризуются определенным числом степеней свободы (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Наименование функции оценивания	Аналитическая зависимость	Число степеней свободы (при l = 7)
среднее арифметическое		27
среднее гармоническое		36
среднее квадратическое		28
среднее геометрическое		27

Информативные свойства среднего арифметического и среднего геометрического не являются самыми значительными по сравнению с другими функциями, однако среднюю арифметическую оценку часто используют из-за ее простоты и минимума необходимых вычислений.

Нетрудно сделать вывод, что вследствие структуры данных функций оценивания (табл. 4.1) показатель пропорционален показателю Z_H.

Весьма эффективной в отношении степени доверия является коммулятивная функция (4.14), в которой используется накопленный принцип обработки информации. Для случая l = 7 коммулятивная функция имеет вид:

. (4.36)

Подсчет степеней свободы показывает, что для (4.36) , т.е. из прочих функций она обладает наибольшей информативностью за счет накопленных аргументов и символов. При этом отпадает сложный процесс индивидуального задания коэффициентов весомости, а влияние субъективности выбора коэффициентов весомости и на конечный результат оценивания значительно снижено.

Еще большей информативностью обладает средний геометрический вариант коммулятивной функции (4.17), для которого , что гарантирует высокую степень доверия к оценке, полученной с использованием нескольких технологий суммирования.

Возможны два подхода в оценивании степени доверия к функции комплексного оценивания.

1. Показатель информативности получают на основе учета степени доверия I_z в сумме с мерой информативности I

. (4.37)

Показатель информативности можно рассматривать как меру количества информации, полученной в ходе обработки в функции оценивания с учетом степени доверия к данной информации.

Если имеются несколько комплексных оценок, полученных с помощью различных функций оценивания, то в целях сравнения можно использовать такие показатели, как точечная информативная оценка

(4.38)

и погрешность информативной оценки

. (4.39)

Тогда информативную оценку можно представить в виде .

2. Показатель информативности получают на основе представлений метрологии. Известно, что точность многократных измерений числом n в раз выше, чем точность однократного измерения. В таком случае на основе (4.34) можно полагать

. (4.40)

В квалиметрии определенность точечной комплексной оценки Q, вычисленной по Z_K - степеням свободы, в раз выше, чем определенность, вычисленная только по . Следовательно, по аналогии с (4.40) справедливо

. (4.41)

Исследования показали, что показатель информативности можно находить как

, (4.42)

а приращение численного значения точечной оценки показателя качества в зависимости от числа степеней свободы

. (4.43)

. (4.44)

Показатель QI, как и в (4.38), не следует рассматривать как уточненную оценку. Это производные величины, учитывающие, помимо абсолютных значений комплексных оценок, еще и степень доверия к ним и предназначенные для сравнения результатов оценивания с помощью различных функций.