§ 20. Работа при перемещении заряда в электрическом поле.

На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, дей­ствует сила, и поэтому при движении заряда в поле совер­шается определенная работа. Эта работа зависит от напря­женности поля в разных точках и от перемещения заряда. No если заряд описывает замкнутую кривую, т. е. возвра­щается в исходное положение, то совершаемая при этом работа равна нулю, как бы ни было сложно поле и по какой бы прихотливой кривой ни происходило движение заряда.

Это важное свойство электрического поля нужно не­сколько пояснить. Для этого рассмотрим сначала движе­ние тела в поле силы тяжести. Работа, как мы знаем (см. том I), равна произведению силы на перемещение и на коси­нус угла между ними: A—Fs cos а. Если этот угол острый (а<90°), то работа положительна, если же угол тупой (сс>90°), то работа отрицательна. В первом случае мы получаем работу за счет действия силы F, во втором — затрачиваем работу на преодоление этой силы. Представим себе, что в поле земного притяжения, т. е. в пространстве вблизи земной поверхности, где действует гравитационная сила притяжения к Земле, перемещается какое-нибудь тело.

Мы предполагаем, что при этом перемещении нет тре­ния, так что тело не испытывает изменений состояния, ко­торые могут сопровождаться изменениями его внутренней анергии: тело не нагревается, не распадается на части, не изменяет своего агрегатного состояния, не испытывает пластической деформации и т. д. В таком случае всякое перемещение тела в поле силы тяжести может сопровождать­ся лишь изменением потенциальной и кинетической энер­гии. Если тело опускается, то потенциальная энергия сис­темы Земля — тело уменьшается, а кинетическая энергия тела соответственно увеличивается’; наоборот, при подъеме тела происходит возрастание потенциальной энергии и одновременно уменьшение кинетической энергии. При этом полная механическая энергия, т. е. сумма потенциаль­ной и кинетической, остается постоянной (см. том I). Как бы ни был сложен путь тела в поле силы тяжести (подъем и опускание по вертикальной, наклонной или кри­волинейной траектории, передвижение по горизонтальному направлению), но если в конце концов тело приходит в исходную точку, т. е. описывает замкнутый путь, то систе­ма Земля — тело возвращается в исходное положение и имеет ту же самую энергию, какой она обладала до начала перемещения тела. Это означает, что сумма положитель­ных работ, совершенных силой тяжести при опускании те­ла, равна по модулю сумме отрицательных работ, совер­шенных силой тяжести на участках пути, соответствую­щих подъему тела. Поэтому алгебраическая сумма всех работ, совершаемых силой тяжести на отдельных участках пути, т. е. полная работа на замкнутом пути, равна нулю.

Из изложенного ясно, что наш вывод справедлив лишь в том случае, если в процессе участвовала лишь сила тя­жести и отсутствовала сила трения и всевозможные другие силы, могущие вызвать указанные выше изменения внут­ренней энергии. Таким образом, силы гравитационного поля, в отличие от многих других сил, например сил тре­ния, обладают свойством, которое мы можем сформули­ровать так: работа, совершаемая гравитационными силами при перемещении тела по замкнутому пути, равна нулю. Нетрудно видеть, что это свойство гравитационных сил является выражением закона сохранения (консервации) полной механической энергии. В связи с этим силовые поля, которые обладают указанным свойством, называют консервативными.

Подобно гравитационному полю, электрическое поле, создаваемое покоящимися электрическими зарядами, также

является консервативным. Когда в нем перемещается за­ряд, то на тех участках пути, где направление перемеще­ния составляет с направлением силы острый угол (напри­мер, в точке а на рис. 38), работа, совершаемая силами поля, положительна. Напротив, там, где направление пе­ремещения составляет с направлением силы тупой угол (в точке Ь), работа сил электрического поля отрицательна.

Рис. 38. К доказательству независимости работы сил электрического поля от фор­мы пути

Когда заряд, пройдя по замк­нутому пути, вернется в исход­ную точку, полная работа элек­трических сил на этом пути, представляющая собой алгебраи­ческую сумму положительных работ на одних участках и от­рицательных на других, равна нулю.

Строгое математическое доказа­тельство консервативности электричес­кого поля в общем случае довольно сложно, и мы ограничимся поэтому до­казательством этого свойства поля для простейшего случая — поля, создавае­мого одним точечным зарядом.

Пусть в электрическом поле не­подвижного точечного заряда q дру­гой заряд % движется вдоль произволь­ной замкнутой кривой 1—2—3—4— 5—6—1 (рис. 38) и после обхода вдоль кривой возвращается в исходную точ­ку 1. Для подсчета совершаемой при этом работы проведем мысленно ряд сфер с центром в заряде q, которые ра­зобьют весь путь заряда q₀ на малые от­резки, и рассмотрим два отрезка 1_г и 1_г, лежащие между одними и теми же сфе­рами (между точками 2 и 3, 5 и 6). Если отрезки 1_г и 1₂ достаточно малы, то можно считать, что сила, действующая на заряд <7₀> во всех точках каждого из отрезков постоянна. Так как оба отрезка находятся на равных расстояниях от заряда q, то, согласно закону Кулона, силы взаимодействия зарядов, на обоих отрезках одинаковы по модулю, но отличаются направлением, образуя разные углы ос₁ а а₂ с направ­лением перемещения. Наконец, при. достаточной малости. и /₂ эти отрезки можно считать прямолинейными. Поэтому работа А₂₃, совер­шаемая электрическими силами на пути 2—3, будет равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между направлениями силы и перемещения, т. е.

— cos щ.

Точно так же работа А_6в1 совершаемая на пути 5—6, равна A-_ai = Fli cos a_z.

Ho cos «₂—cos (180°—P)=—cos (3, так что Л₅₀=—FL cos (3. Кроме того, из чертежа видно, что

cos а_х = /₂ cos (5 = d,

где d — расстояние между сферами, заключающими отрезки 1_Х и /₂. Поэтому мы находим, что

•^23 = —

т. е. что алгебраическая сумма работ на отрезках 2—3 и 5—6 равна нулю. Такой же результат мы получим и для любой другой пары соответствую­щих отрезков пути, заключенных между другими сферами. Поэтому и полная работа при обходе по замкнутому контуру, равная сумме работ на отдельных отрезках, тоже будет равна иулю.

Мы получили результат для случая электрического поля одного точечного заряда. Он оказывается справедливым для любого электроста­тического поля, т. е. поля, созданного неподвижными зарядами, так как поле, создаваемое любым распределением заряда, можно свести к полю совокупности точечных зарядов.

Итак, в электрическом поле работа при перемещении заряда по замкнутому контуру всегда равна нулю ¹).

Так как работа на пути 1—2—3—4—5—6—1 равна нулю, то, следовательно, работа на пути 1—2—3—4 равна по мо­дулю и противоположна по знаку- работе на пути 4—5—6—1. Но работа при перемещении заряда на пути 4—5—6—1 равна по модулю и противоположна по знаку работе при перемещении того же заряда во встречном направлении, т. е. по пути 1—6—5—4. Отсюда следует, что работа на пути 1—2—3—4 (рис. 38) имеет тот же модуль и знак, что и работа на пути 1—6—5—4. Так как выбранный криволи­нейный контур совершенно произволен, то полученный ре­зультат можно выразить еще и так: работа, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда между двумя точками в электрическом поле, не зависит от формы пути.- Она определяется только положением начальной и конечной точек пути.

л 20.1. Укажите по возможности больше черт сходства и различия

• между электрическим и гравитационным полями.