§ 159. Закон Ома для переменного тока. Емкостное и ин­дуктивное сопротивления. В § 46 мы установили основной закон постоянного тока — закон Ома I—u/r.

Сила тока ./, проходящего по некоторому участку цепи, пропорциональна напряжению U между концами этого участка, т. е. отношение U/I сохраняет постоянное зна­чение (не зависит от U или /). Этот закон сохраняет силу и для переменного тока. И в этом случае, если мы будем увеличивать напряжение между двумя точками цепи в

2. 3, 4, ... раза, то во столько же раз будет возрастать и ток в цепи.

Как и в случае постоянного тока, отношение UII (где U и / — действующие значения напряжения и тока) мы будем называть сопротивлением данного участка цепи, но для отличия от сопротивления при постоянном токе мы будем называть его «полным сопротивлением» данного участка и обозначать буквой Z. Таким образом, Z=VU. Запишем закон Ома для переменного тока в виде

/=у, (159.1)

причем Z есть постоянная для данной цепи величина, не зависящая от / и U.

Мы видели в предыдущем параграфе, что сила перемен­ного тока определяется при заданном напряжении не только тем сопротивлением R, которым обладает данная цепь при постоянном токе, но и наличием в этой цепи конденсаторов или катушек индуктивности. Поэтому, вообще говоря, ве­личины R и Z различны, т. е. одна и та же цепь будет иметь различное сопротивление для постоянного и для перемен­ного тока.

Поясним сказанное на примере. Если мы включим конден­сатор в цепь постоянного тока, то цепь будет разомкнута, ток в ней будет равен нулю и, следовательно, сопротивление этой цепи при постоянном токе бесконечно велико: оо.

Включим теперь кондесатор емкости, скажем, 10 мкФ по­следовательно с амперметром в городскую сеть перемен­ного тока с частотой V=50 Гц и напряжением 220 В. Ампер­метр обнаружит, что в цепи протекает переменный ток 0,69 А. Следовательно, полное сопротивление цепи перемен­ному току, обусловленное в нашем примере емкостью конденсатора,

у 220 В л j п

~ 319 Ом.

Другой пример. Положим, что в цепь включена катушка из 1000 витков медной проволоки диаметра 0,4 мм, навитых на цилиндрический железный сердечник диаметра 10 см и длины 50 см. Индуктивность такой катушки L—2,5 Гн. Нетрудно вычислить, что длина проволоки в обмотке катуш­ки равна 314 м и сопротивление ее при постоянном токе R=38 Ом (табл. 2, § 47). Поэтому, если бы мы включили эту катушку в сеть постоянного тока с напряжением 220 В, то ток через нее был бы равен /==220 В/38 Ом=5,8 А. Но если ту же катушку включить последовательно с ампермет­ром в цепь переменного тока с напряжением 220 В, то сила тока окажется равной всего лишь 0,279 А. Таким образом, полное сопротивление катушки переменному току с часто­той 50 Гц будет равно

² = 0^ = ^789Ом-

Сопротивление R, которое данная цепь оказывает по­стоянному току, называется активным. Сопротивление, которое оказывает переменному току конденсатор (емкость) или катушка (индуктивность), называют реактивным — соответственно емкостным или индуктивным и обозначают Х_с и X,..

Емкостное сопротивление конденсатора тем меньше, чем больше его емкость и чем больше частота переменного тока, т. е. чем короче период.. Действительно, чем больше ем­кость конденсатора, тем больший электрический заряд на­капливается на его обкладках в процессе зарядки, а чем больше частота (меньше период), тем за более короткое вре­мя этот заряд будет проходить по проводам, т. е. тем боль­ший средний ток будет пропускать кондесатор. Итак, при увеличении С и со ток возрастает, а сопротивление умень­шается.

Расчет и опыт показывают, что для синусоидального пе­ременного тока t% 159.1. В сеть переменного тока с частотой 50 Гц включен ковден-

• сатор емкости 20 мкФ. Напряжение сети равно 220 В. Какой ток пройдет через конденсатор?

Индуктивное сопротивление катушки, напротив, воз­растает с увеличением частоты тока и индуктивности ка­тушки. Действительно, э. д. с. самоиндукции, уменьшаю­щая ток в цепи, равна LiS.HAt. Чем больше частота тока, тем быстрее происходят его изменения, т. е. тем больше отно­шение АН At. Таким образом, с ростом частоты тока и ин­дуктивности катушки увеличивается и индуцируемая в ней э. д. с.,' стремящаяся противодействовать изменениям первичного поля. Ток при этом уменьшается, т. е. сопро­тивление цепи переменному току возрастает.

Расчет и опыт дают для синусоидального переменного тока

X_l = (hL. (159.3)

2. Какой ток пройдет через катушку с индуктивностью 4 Гн,

• если ее включить в сеть с напряжением U= 220 В и частотой v= =50 Гц?

Полное сопротивление цепи Z переменному току в слу­чае, когда цепь содержит и активное сопротивление R и индуктивное сопротивление X_L (или емкостное сопротив­ление Х_с или и то и другое), составляется из этих величин, но, вообще говоря, оно не равно простой сумме этих со­противлений ¹).

§ 160. Сложение токов при параллельном включении сопро­тивлений в цепь переменного тока. Включим в цепь пере­менного тока две параллельные ветви, содержащие актив­ные сопротивления R' и R" и амперметры A_v и Л₂, измеряю­щие токи /i и /j в этих ветвях (рис. 301). Третий амперметр А измеряет ток в неразветвленной цепи. Положим сначала, что оба сопротивления R' и R” представляют собой лампоч­ки накаливания или реостаты, индуктивным сопротивле­нием которых можно пренебречь по" сравнению с их актив­ным сопротивлением (рис. 301, а). Тогда, так же как и в случае п.остоянного тока, мы убедимся в том, что показание амперметра А равно сумме показаний амперметров 4i и А а, т. е. / — /i4~ /₂* Если сопротивления R’ и R" представ­

ляют собой реостаты, то, изменяя их сопротивления, мы можем как угодно изменять каждый из токов А и /₂, но ра­венство /=/_х+/а всегда будет сохраняться. То же будет иметь место и в том случае, если мы заменим оба реостата конденсаторами, т. е. если оба сопротивления будут емко­стными (рис. 301, б), или в том случае, если оба сопротивле­ния являются индуктивными, т. е. реостаты заменены ка­тушками с железным сердечником, индуктивное сопротивг ление которых настолько больше активного, что последним можно пренебречь (рис. 301, в). .

а)	—1—J—	О)			—C==h_\i}i
					' *”с ^ "II
	0^0			— (л) 1 О <*\/ о
6)	II	в)			p-о—©I
	'Я ' ■■ - |(-—(a^-J				0'
	-(А)——о~о			(7) О О

Рис. 301. Сопротивления в параллельных ветвях цепи переменного тока одинаковы по своей при­роде

Рис. 302. Сопротивления в параллельных ветвях переменного тока различ­ны по своей природе

Таким образом, если сопротивления параллельных вет­вей одинаковы по своей природе, то ток в неразветвленной цепи равен сумме токов в отдельных ветвях. Это справед­ливо, конечно, и в том случае, когда имеются не две ветви, а любое их число.

13 Элементарный учебник физики, т. II

Заменим теперь в одной из ветвей (рис. 302, я и б) ак­тивное сопротивление емкостным (конденсатором) или ин­дуктивным (катушкой с большой индуктивностью и малым активным сопротивлением). Опыт дает в этом случае резуль­тат, кажущийся на первый взгляд странным: ток в нераз- ветвленной цепи / оказывается меньшим, чем сумма токов в обеих ветвях: /</i+/₂- Если, например, ток в одной вет­ви равен 3 А, а в другой — 4 А, то амперметр в неразветвлен- ной цепи покажет не ток 7 А, как мы ожидали бы, а только ток 5 А, или 3 А, или 2 А и т. д. Ток / будет меньше суммы то­ков If и /₂ и тогда, когда сопротивление одной ветви ем­костное, а другой — индуктивное (рис. 302, в).

Таким образом, если сопротивления параллельных вет­вей различны по своей природе, то ток в неразветвленной цепи меньше суммы токов в отдельных ветвях.

Чтобы разобраться в этих явлениях, заменим в схемах на рис. 301 и 302 амперметры осциллографами и запишем форму кривой тока в каждой из параллельных ветвей ¹). Оказывается, что токи разной природы в каждой из вет­вей не совпадают по фазе ни друг с другом, ни с током в не­разветвленной цепи. В частности, ток в цепи с активным сопротивлением опережает по фазе на четверть периода ток в цепи с емкостным сопротивлением и отстает по фазе на четверть периода от тока в цепи с индуктивным сопро­тивлением.

В этом случае кривые, изображающие форму тока в не­разветвленной цепи и в какой-нибудь из ветвей, располо­жены относительно друг друга так, как кривые 1 и 2 на рис. 294. В общем же случае, в зависимости от соотношения между активным и емкостным (или индуктивным) сопротив­лениями каждой из ветвей, сдвиг фаз между током в этой ветви и неразветвленным током может иметь любое значе­ние от нуля до ±л/2. Следовательно, при смешанном со­противлении разность фаз между токами в параллельных ветвях цепи может иметь любое значение между нулем и ±п.

Это несовпадение фаз токов в параллельных ветвях с сопротивлениями, различными по своей природе, и явля­ется причиной тех явлений, о которых было сказано в на­чале этого параграфа. Действительно, для мгновенных зна­чений токов, т. е. для тех значений, которые эти токи имеют в один и тот же момент времени, соблюдается известное

правило!

Но для амплитуд (или действующих значений) этих токов это правило не соблюдается, потому что результат сложения двух синусоидальных токов или иных двух величин, изме­няющихся по закону синуса, зависит от разности фаз меж­ду складываемыми величинами. -

В самом деле, предположим для простоты, что амплитуды складываемых токов одинаковы, а разность фаз между

Рис. 303. Сложение двух синусоидальных переменных токов. Склады­ваемые токи: а) совпадают по фазе (ф=0); б) противоположны по фазе, т. е. сдвинуты во времени на половину периода (ср=я); в) сдвинуты во времени на четверть периода (ф=я/2)

ними равна нулю. Тогда мгновенное значение суммы двух токов будет равно просто удвоенному значению мгновенного значения одного из складываемых токов, т. е. форма резуль­тирующего тока будет представлять собой синусоиду с тем же периодом и фазой, но с удвоенной амплитудой. Если амплитуды складываемых токов различны (рис. 303, а), то сумма их представляет собой синусоиду с амплитудой, рав­ной сумме амплитуд складываемых токов. Это имеет место, когда разность фаз между складываемыми токами равна нулю, например когда сопротивления в обеих параллель­ных ветвях одинаковы по своей природе.

Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда скла­дываемые токи, имея равные амплитуды, противоположны по фазе, т. е. разность фаз между ними равна п. В этом слу­чае мгновенные значения складываемых токов равны по мо­дулю, но противоположны по направлению. Поэтому их алгебраическая сумма будет постоянно равна нулю. Таким образом, при сдвиге фаз на п между токами в обеих ветвях, несмотря на наличие токов в каждой из параллельных вет­вей, в неразветвленной цепи тока не будет. Если амплитуды обоих смещенных на я токов различны, то мы получим результирующий ток с той же частотой, но с амплитудой, равной разности амплитуд складываемых токов; по фазе этот ток совпадает с током, имеющим большую амплитуду (рис. 303, б). Практически этот случай имеет место тогда, когда в одной из ветвей имеется емкостное, а в другой — ин­дуктивное сопротивление.

В оЬщем случае при сложении двух синусоидальных токов одной и той же частоты со сдвигом фаз мы получаем всегда синусоидальный ток той же частоты с амплитудой, которая в зависимости от разности фаз ср имеет промежуточ­ное значение между разностью амплитуд складываемых то­ков и их суммой. Для примера на рис. 303, в показано гра­фическое сложение двух токов с разностью фаз ср=я/2. С помощью циркуля легко убедиться в том, что каждая ордината результирующей кривой i действительно пред­ставляет собой алгебраическую сумму ординат кривых i'i и i₂ с одинаковой абсциссой, т. е. для того же момента вре­мени.

§ 161. Сложение напряжений при последовательном соеди­нении сопротивлений в цепи переменного тока. Включим в цепь переменного тока последовательно активное сопро­тивление R и индуктивное сопротивление X_L и подключим параллельно каждому из них вольтметр, измеряющий на­пряжения между концами соответствующего участка цепи. Вольтметр Vi измеряет напряжение V_аЬ между точками а и Ь, а вольтметр V₂ — напряжение U_bc между точками бис. Третий вольтметр V_s измеряет напряжение Ь_ас между точками а и с (рис. 304).

Опыт показывает, что в случае, когда оба сопротивления одинаковы по своей природе, т. е. оба являются активными, или индуктивными, или емкостными, то, как и в случае постоянного тока, напряжение на всем участке ас равно сум­ме напряжений на участках ab и Ьс:

Uac = Uab + V_bc-

В общем же случае, когда сопротивления различны по природе (рис. 304), напряжение на всем участке ас всег­да меньше суммы напряжений на участках ab и Ьс:

и_вс<и_вЬ+и_Ьс. (161.1)

Если, например, включить в сеть с напряжением 220 В по­следовательно лампочку с активным сопротивлением 60 Ом и катушку с индуктивным сопротивлением 80 Ом, то окажет­ся, что напряжение на лампочке равно 125 В, а напряжение

Рис. 304. Сумма напряжений на активном и индуктивном (или емко­стном) сопротивлениях не равна напряжению между концами уча­стка цепи ас, содержащего оба эти сопротивления

rtb-Wn

-с=ь

'Ъ

-о rv о-

на катушке равно 166 В; сумма этих напряжений равна U_ab+U_bc=29l В, хотя U_ac=220 В.

Причина этого в том же сдвиге фаз между напряжениями И_аЬ и U_bc, какой мы наблюдали между токами в параллель­ных ветвях цепи (§ 160). Действительно, заменив вольтмет­ры V-l и V_г (рис. 304) осциллографами, можно убедиться в том, что напряжения U_ab и U_bc не совпадают по фазе. Если первое сопротивление активное, а второе емкостное, то напряжение U_аЬ опережает по фазе напряжение U_bc на четверть периода, а если второе сопротивление индуктив­ное, то напряжение U_аЬ отстает по фазе от напряжения U_bc на такую же величину. Кривые, изображающие форму напряжений U_аЬ и U_bc, были бы расположены в этом случае так же, как соответствующие кривые на рис. 303, в.

Для мгновенных значений напряжений всегда имеет место соотношение

и = и₁-\_Ги₂,

но результат сложения двух синусоидальных напряжений, т. е. амплитуда и фаза результирующего напряжения, бу­дет зависеть от разности фаз между складываемыми напря­жениями так же, как и в случае токов.