5.4.3 Статистическое распределение выборки и эмпирическая функция распределения

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём x₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ – n₂ раз, x_k – n_k раз и n_i = n – объём выборки. Наблюдаемые значения x_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами.

Статическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

хi	2	6	12
ni	3	10	7

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

, , .

Напишем распределение относительных частот:

хi	2	6	12
Wi	0,15	0,5	0,35.

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х

, (5.28)

где – число вариант, меньших х,

– объем выборки.

Таким образом, для того чтобы найти, например, , надо число вариант, меньших , разделить на объем выборки

. (5.29)

В отличие от эмпирической функции распределения выборки интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X < х, а эмпирическая – определяет относительную частоту этого же события. Согласно теореме Бернулли, относительная частота события Х < х, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Другими словами, числа и мало отличаются друг от друга. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Из определения функции вытекают следующие ее свойства:

• значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1];

• – неубывающая функция;

• если x₁ – наименьшая варианта, то = 0 при х  x₁;

• если x_k – наибольшая варианта, то = 1 при х > х_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки: