5.3.2 Случайные величины и их числовые характеристики

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Дискретные случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными её значениями и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

X	x1	x2	...	xn
Р	р1	р2	...	pn.

Сумма вероятностей этих событий равна единице.

p₁ + p₂ + ... + p_n = 1.

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i, p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Пример: дискретные случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X	– 0,01	0,01	Y	–100	100
Р	0,5	0,5.	Р	0,5	0,5.

Их математические ожидания одинаковы:

М(Х) =  0,01 0,5 + 0,01 0,5 = 0,

M(Y) =  1000,5 + 100 0,5 = 0.

Наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х).

Отклонение имеет следующий закон распределения:

Х – М(Х)	х1 – М(Х)	х2 – М(Х)	...	хп – М(Х)
Р	р1	р2	...	pn.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Среднее значение отклонения, т. е. M[X – М(Х)], для любой случайной величины равно нулю, поскольку одни возможные отклонения положительны, а другие–отрицательны. В результате они взаимно погашаются. Вследствие этого целесообразно заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами.

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания называют дисперсией дискретной случайной величины

D(X) = M[X – M(X)]². (5.5)

Пусть случайная величина задана законом распределения

X	x1	x2	...	xn
Р	р1	р2	...	pn.

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

[X – M(X)]² [x₁ – M(X)]² [x₂ – M(X)]² … [x_n – M(X)]²

Р р₁ р₂ … p_n.

Для того, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания

D(X) = M(X ²)  [M(X)]². (5.6)

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X	2	3	5
Р	0,1	0,6	0,3.

Решение. Найдем математическое ожидание М(Х):

М(Х) = 2  0,1 + 3  0,6 + 5  0,3 = 3,5.

Напишем закон распределения случайной величины X²:

X2	4	9	25
р	0,1	0,6	0,3

Найдем математическое ожидание М(Х²):

М(Х²) = 4 0,1 + 9 0,6 + 25 0,3 = 13,3.