5.5 Приёмы первичной обработки экспериментальных данных

5.5.1 Систематизация данных измерений и нахождение числовых характеристик измеряемых величин

Важнейшими задачами обработки экспериментальных данных являются отсеивание результатов измерений с грубыми погрешностями и проверка соответствия распределения результатов измерений законам нормального распределения.

Систематизация экспериментальных данных предполагает их размещение в таблицах. Материал располагают в хронологической последовательности (получают временные ряды случайных величин) либо в соответствии с изменением изучаемых параметров (получают статистические ряды распределения).

В математической статистике распределение рассматривают как соответствие между наблюдаемыми значениями параметра и их частотами – абсолютными либо относительными (см. в разделе 5.4).

Определяют диапазон изменения измеряемых величин, т.е. диапазон варьирования результатов измерений. Количественной оценкой этого диапазона является размах вариации R, величина которого определяется как разность между полученными максимальным и минимальным значениями измеряемого параметра Х по формуле (5.43):

R = х_max – х_min.

Для проверки наличия грубых ошибок измерений параметра Х необходимо по данным ряда наблюдений получить статистическую оценку величины измеряемого параметра и статистические оценки колеблемости результатов измерений.

Математическое ожидание измеряемого параметра Х находят как среднее арифметическое результатов наблюдений по формулам (5.31) либо (5.32).

Для оценки колеблемости результатов измерений переменных или отклонений результатов их измерений х_і от средней величины используют среднее абсолютное отклонение, дисперсию и среднее квадратичное (стандартное) отклонение.

Заметим, что характеристики распределения в генеральной совокупности называют параметрами. Их принято обозначать буквами греческого алфавита, например, дисперсия σ², среднее квадратичное отклонение σ. Выборочные характеристики называют оценками или статистиками. Их принято обозначать буквами латинского алфавита, например, дисперсия S² и среднее квадратичное отклонение S.

Определяют следующие оценки колеблемости выборочных данных:

исправленное среднее абсолютное отклонение:

; (5.56)

исправленную дисперсию S² по формуле (5.37) и исправленное среднеквадратичное (стандартное) отклонение S по формуле (5.38).

Для сравнения колеблемости переменных, имеющих разные размерности, удобно применять коэффициенты вариации: для генеральной совокупности – и для выборки – :

. (5.57)

Среднее арифметическое является начальным моментом первого (m₁), дисперсия – центральным моментом второго (M₂) порядка выборки случайных величин х_і. Напомним, что начальным моментом порядка k случайной величины называется её математическое ожидание k-ой степени:

или ;

центральным моментом порядканиже приведенные статистики:

и отклонений результатов их измерений Хо данным ряда наблюдений вычислить ыми 00000000000000000000 k называется математическое ожидание k-ой степени отклонения величины Х от её центра:

или .

Определяют также центральные моменты третьего и четвёртого порядка:

; (5.58)

, (5.59)

которые могут быть рассчитаны по значениям начальных моментов m_k по формулам:

(5.60)

(5.61)

(5.62)

Вычисляют коэффициент асимметрии и эксцесс:

(5.63)

, (5.64)

а также их среднеквадратичные отклонения, соответственно, S_А и S_Е:

; (5.65)

(5.66)

Приведенные формулы (5.63) – (5.66) позволяют вычислять статистические оценки А, Е, S_А, S_Е, которые для выборок небольшого объёма являются смещёнными.

Несмещённые оценки для показателей асимметрии и эксцесса определяют по формулам:

; (5.67)

. (5.68)

Несмещённые оценки среднеквадратичных отклонений для этих показателей вычисляют по формулам:

; (5.69)

. (5.70)

Основными показателями точности измерений являются стандартная ошибка (стандарт) S и дисперсия S².

В генеральной совокупности или выборках большого объёма практически все случайные ошибки измерения ограничены по абсолютной величине значения ± 3σ (правило трёх сигм). При нормальном распределении применяют также следующие показатели точности измерений:

вероятная ошибка

ρ = 0,674σ; (5.71)

средняя абсолютная ошибка

САО = ; (5.72)

мера точности

. (5.73)