5.3 Элементы теории вероятностей

5.3.1 Предмет и основные понятия теории вероятностей

Все наблюдаемые события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определённая совокупность условий.

Случайным называют событие, которое при осуществлении определённой совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Каждое случайное событие является следствием действия очень многих случайных причин. Поскольку число их велико и законы их действия неизвестны, учесть влияние всех этих причин на результат невозможно.

Изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий является предметом теории вероятностей.

Теория вероятностей не ставит перед собой задачу и не может предсказать, произойдет или нет единичное событие. Однако, достаточно большое число однородных случайных событий подчиняется вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники. Теория вероятностей служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая, в свою очередь, используется при организации экспериментов, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В настоящей главе приводятся лишь некоторые из основных понятий теории вероятностей, знание которых необходимо для понимания основ математической и прикладной статистики.

Случайные события называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называют единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

Единственно возможные события попарно несовместны.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания. Её обозначают P(А).

Таким образом, вероятность события A определяется формулой:

, (5.1)

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

• Вероятность достоверного события равна единице.

• Вероятность невозможного события равна нулю.

• Вероятностью случайного события является положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.е.

0 < P(A) < 1. (5.2)

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам

0 ≤ P(A) ≤ 1. (5.3)

Наряду с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности, принимая за вероятность события относительную частоту или число, близкое к ней.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Относительная частота события A определяется формулой:

, (5.4)

где m – число появлений события;

n – общее число испытаний.

Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого события.

Если производятся несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.