Собственные векторы и собственные значения матрицы.
Определение 1. n-мерный вектор х=0 называется собственным вектором линейного оператора А, если существует такое число λ, что А(х)=λх. Число λ называется собственным значением оператора А, соответствующим вектору х.
Можно доказать, что ненулевое решение уравнения А*Х=λ*Х существует тогда и только тогда, когда определитель А῀λЕ=0, где Е-единичная матрица n-го порядка.
Определение 3. Характеристическим уровнем линейного оператора А называется уравнение А-λЕ=0.
Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора А не зависит от выбора базиса линейного пространства.
Матрица линейного оператора в базисе состоящем из его собственных векторов.
Матрица
А линейного оператора А пространства
Rⁿ
в себя принимает наиболее простой вид,
если базис пространства состоит из
собственных векторов оператора А. Можно
доказать, что в этом случае матрица А
линейного оператора является диагональной
и имеет вид:
λ₁ 0 … 0
А= 0 λ₂ … 0
… … … …
0 0 … λⁿ
Верно и обратное: если матрица А линейного оператора А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса собственными векторами оператора А.
Тема 5: Квадратичные формы.
Определение 1. Квадратичной формой L(x₁,x₂,…xₐ) от n переменных называется сумм, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных х₁,х₂ взятых с некоторым действительным коэффициентом аᵢј, (причем аᵢј= ајᵢ)
L(x₁,x₂,…xₐ)=
Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы ( через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра)
Теорема: (Критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная формула L=X’AX была положительно определена, необходимо и достаточной, чтобы главные миноры матрицы А были положительными, т.е.
Для того чтобы квадратичная форма L=X’AX была отрицательной определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы чередовались, начиная со знака «минус» для минора первого порядка, т.е.
Тема 6:Элементы аналитической геометрии
Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий.
Основные виды уравнений прямой на плоскости (Одно из них вывести)
Определение 1. Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и только они.
Основные виды уравнений прямой на плоскости:
Y=0- уравнение оси Ox
Y=b- уравнение прямой, параллельной оси Ox;
X=0- уравнение оси Oy;
X=a- уравнение прямой, параллельной оси Oy
Y=kx- уравнение прямой, проходящей через начало координат, с угловым коэффициентом k=tga, где a- угол наклона прямой к оси Ox;
Y=kx+b- уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tga, где a- угол наклона прямой с положительным направлением оси Ox,
Y=y₀=k(x-x₀) – уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀) и имеющей угловой коэффициент k.
y-y₁ x-x₁
y₂-y₁ x₂-x₁