Теорема: Ранг матрицы при элементарных преобр. не меняется.

Линейная независимость столбцов(строк) матрицы

Теорема о ранге матрицы: Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Тема 2:Система линейных уравнений.

а11*x1+a12*x2+…+аit*x11=b1

a21*x1+a22*n2+…+a31*x11=b2

_._._._._>->_>_>__>_>___>_>____

an1*x1+an2*x2+…+an3*x11

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Определение. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решения.

Определение. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Определение. Совместная система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Решение системы линейных уравнений с n перемещенным с помощью обратной матрицы.

Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными.

Понятие о методе Жордана Гаусса.

Метод Гаусса- метод последовательного исключения переменных- заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равновесной системе треугольного вида, начиная с последней переменной, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов называемой расширенной матрицей системы(1) (пример в тетради)

Теорема Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n переменными:

В тетради.

Теорема Кронекера Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

   Базисные(основные) и свободные(неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными.

   Базисное решение.

Определение 1: Пусть r<n:r переменных x1,x2,…xr, называются основными(базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля, остальные n-r переменных называются неосновными(свободными).

Определение 2: Решение системы m линейных уравнений с n переменными, в котором все n-r неосновных переменных равны нулю, называется базисными.

Система однородных уравнений

Тема 3:Векторное пространство

A+b

a

Векторы лежащие на одной прямой(или на параллельных прямых) называются коллинеарными, векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Длина вектора а(x,y,z) вычисляется по формуле (см в тетради)

Определение 1. Скалярным произведением (a,b) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними;

A*b= a * b *cosᵳ

Если a(x1,y1) и b(x2,y2), то (a,b)=x1x2+y1y2;

Если a(x1,y1,z1) и b(x2,y2,z2), то (a;b)=x1x2+y1y2+z1z2

Угол между векторами вычисляется по формуле: ф=arcos (a*b)\

Определение 1. n- мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x=(x1,x2,…,xn) где х1 есть i-ая компонента вектора х.

Определение 2. Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1,a2,…,am-1, если см в тетради