Логическая информация и основы логики
Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается.
Логические величины – понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false).
Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическая переменная – символически обозначенная логическая величина.
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки , или &. Конъюнкция – двуместная операция; записывается в виде А В или А & В, или АВ.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой операции соответствует союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком или +. Дизъюнкция – двуместная операция; записывается в виде А В или А + В.
Примечание. Выделяют еще строгую дизъюнкцию (исключающее ИЛИ). В русском языке ей соответствует союз ЛИБО. Она обозначается знаком . Эту операцию также называют сложением по модулю 2.
О
трицание.
В русском языке этой операции соответствует
частица НЕ. Отрицание – унарная
(одноместная) операция; записывается в
виде А
или А.
Импликация (условное высказывание). В русском языке этой логической операции соответствуют слова если …, то; когда …, тогда; коль скоро …, то и т.п. В логических формулах операция импликации обозначается знаком . Импликация – двуместная операция; записывается так: АВ.
Эквивалентность (тождественность). Языковой аналог – если и только если; тогда и только тогда, когда … Эквивалентность обозначается знаком или . Эквивалентность – двуместная операция; записывается так: А В или А В.
Порядок выполнения логических операций по убыванию старшинства следующий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Чтобы изменить порядок выполнения логических операций, нужно использовать скобки.
Логическая формула (логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций.
Результаты каждой логической операции приведены в таблице истинности (табл. 3).
Таблица 3
Таблица истинности логических операций
-
АВ
А
АВ
А+В
АВ
АВ
АВ
и
и
л
и
и
и
и
л
и
л
л
л
и
л
л
и
л
и
и
л
и
и
л
и
л
л
и
л
л
и
и
л
Задача. Определить истинность логической формулы:
F=((C + B) B ) (A B ) B.
Определим порядок выполнения действий с учетом приоритета логических операций (см. выше):
1 2 4 3 5
F=((C + B) B) (A B) B.
Для решения задачи составим таблицу истинности этой формулы, перебрав все варианты значений логических переменных А, В и С.
1 2 3 4 5
А |
В |
С |
C+В |
(С+В)В |
АВ |
((С+В)В) (АВ) |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Здесь числовые обозначения для логических величин: 1 – истина, 0 – ложь.
Данная логическая формула является тождественно истинной, т.е. истинной при любых значениях входящих в нее логических переменных.