Векторное(линейное) пространство, его размерность и базис.

Определение 1. Векторным (Линейным) пространством называется множество n-мерных векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее определенным свойствам(аксиомам)

Определение 2. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) векторов являются линейно зависимыми.

Определение 3. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

Теорема 1. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса

X=x1e1+x2e2+…+xnen.

Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации векторов базиса этого пространства называется разложением длинного вектора по базису.

Евклидово пространство. Длина(норма) вектора.

Определение 1. Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).

Определение 2. Длиной(номой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата.

│x│=√(x,x)=√(x₁)2+(x₂)2+…+(xₐ)2

Ортогональный и ортонормированный базисы.

Определение 1. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение 2. Базис линейного пространства e₁, e₂,…eₐ называется ортогональным, если (eᵢ,ej)=0 при всех i=j

Определение 3. Базис линейного пространства e₁, e₂,…eₐ называется ортонормированным, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, то есть (eᵢ,ej)=0 при всех i=j и │e₁│=1 при i-1,2… n

Тема 4: Линейные операторы.

Определение 1. Если задан закон(правило), по которому каждому вектору x= (x₁, x₂,…xₐ) пространства Rⁿ ставится в соответствии единственный вектор y=(y₁, y₂,…yₐ) пространства Rᶬ, то говорят, что задан оператор(преобразование, отображение), действующий из Rⁿ в Rᶬ,, и записывают y=A(x)

Определение 2. Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства Rⁿ и любого числа a выполняются соотношения:

1. A(x+y)=A(x)+A(y) –свойство аддитивности оператора;

2. A(ax)= a*A(x)- свойство однородности оператора.

Определение 3. Вектор y=A(x) называется образом вектора x, а сам вектор х- прообразом вектора y.

Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом y. Ранг оператора, операции над данными операторами. Нулевой и тождественный операторы.

Теорема 1. Каждому линейному оператору линейного пространства Rⁿ в себя соответствует матрица в данном базисе. Обратно, всякой матрицу n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Определение 1. Ранг матрицы А называется рангом оператора А.

Определение 2. Суммой двух линейных операторов А и В называется оператор(А+В) определяемый равенством (А+В)(х)=А(х)+В(х)

Определение 3. Произведением линейного оператора А на число λ называется оператор λА, определяемый равенством λt(х)=λА(х)

Определение 4. Произведение двух линейных операторов А и В называется оператор (АВ), определяемый равенством (АФj(x)= А(В(х)).

Определение 5. Нулевым оператором называется оператор, переводящий все векторы пространства Rⁿ в нулевые векторы.

Определение 6. Тождественным оператором называется оператор Е, переводящий каждый вектор в себя, то есть Е(х)=х.