2.3.1. Прямая и точка в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости.

Задание 2.23

Построить недостающую проекцию точки M, принадлежащей заданной плоскости.

Задание 2.24

В заданной плоскости провести произвольные горизонталь AB и фронталь CD.

Задание 2.25

Через отрезок прямой AB провести горизонтально-проецирующую плоскость P и фронтально-проецирующую плоскость Q.

2.3.2. Взаимное положение прямой, плоскости, двух плоскостей

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

Пример 2.8

Определить точку пересечения прямой m с плоскостью P.

Решение (рис. 2.9)

Поскольку заданная плоскость P фронтально-проецирующая (это очевидно, так как. ее горизонтальный след (P_H) перпендикулярен оси x), фронтальный след плоскости (P_V) обладает собирательным свойством. Следовательно, фронтальная проекция точки K″ пересечения прямой m с плоскостью P будет находиться на фронтальной проекции прямой m″ и на фронтальном следе плоскости P_V. Поскольку точка K принадлежит прямой m, ее горизонтальная проекция K′ будет находиться на горизонтальной проекции прямой m′ и на линии проекционной связи с фронтальной проекцией K″.

Пример 2.9

Построить точку пересечения прямой m с плоскостью заданной треугольником ABC. Показать видимость.

Решение (рис.2.10)

1. Провести через прямую m вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость P.

2. Найдя точки пересечения двух прямых, принадлежащих плоскости треугольника с вспомогательной плоскостью P, провести линию пересечения плоскости треугольника ABC с плоскостью P. Прямая AC пересекает плоскость P в точке 1. Прямая BC пересекает плоскость P в точке 2. Линия пересечения заданной плоскость с вспомогательной – линия 1-2.

3. Определить точку K пересечения прямой m с плоскостью треугольника ABC, как точку общую для прямой m и для линии 1-2.

4. Определить видимость с помощью конкурирующих точек. Для фронтальной проекции – точек 1 и 3. Для горизонтальной проекции – точек 4 и 5.

Рис. 2.10

Задание 2.26

Через точку A провести прямую, параллельную заданной плоскости.

Задание 2.27

Определить точку пересечения прямой m с заданной плоскостью. Показать видимость.

Задание 2.28

Построить линию пересечения плоскостей. Показать видимость.

Задание 2.29

Через точку A провести плоскость параллельно заданной.

2.3.3. Прямая, перпендикулярная плоскости

Пример 2.10

Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC.

Решение (рис 2.11)

Для определения расстояния от точки до плоскости нужно из точки опустить на эту плоскость перпендикуляр. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Следовательно, в основании перпендикуляра можно провести две любые пересекающиеся прямые. Однако прямой угол будет проецироваться в действительную величину только, если в качестве таких прямых выбрать прямые, параллельные плоскостям проекций (горизонталь и фронталь). При этом, не обязательно проводить горизонталь и фронталь именно через основание перпендикуляра. Поскольку все горизонтали плоскости параллельны между собой, горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали, принадлежащей плоскости. Аналогично можно задать направление фронтальной проекции перпендикуляра, как перпендикуляра на фронтальную проекцию любой фронтали плоскости.

1. Задать направление перпендикуляра m. Для этого провести в плоскости произвольную горизонталь (C1) и произвольную фронталь (A2). Фронтальную проекцию перпендикуляра m″ провести перпендикулярно фронтальной проекции фронтали A″2″, а горизонтальную проекцию перпендикуляра m′ - перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали C′1′.

2. Построить основание перпендикуляра точку K, как точку пересечения прямой m с плоскостью треугольника. Для этого провести через прямую m вспомогательную проецирующую плоскость Q. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости Q с плоскостью треугольника (линия 3-4). На этой линии определить точку K, принадлежащую прямой m.

3. Определить действительную величину отрезка DK любым удобным способом, например методом прямоугольного треугольника.

Пример 2.11

Из точки C, лежащей в плоскости треугольника ABC, восставить к этой плоскости перпендикуляр CD длиной 20 мм.

Решение (рис.2.12)

1. Задать направление перпендикуляра. Для этого в плоскости треугольника провести произвольные горизонталь (например, C2) и фронталь (например, A1). Восставить из точки C перпендикуляр m (m′ ┴ A′2′; m″ ┴ C″1″).

2. Отложить на луче m отрезок СD длиной 20 мм. Для этого ограничить перпендикуляр m произвольной точкой E. Найти действительную величину отрезка CE. Поскольку отрезок CE и искомый отрезок CD расположены на одной прямой, их действительные величины могут быть найдены из подобных треугольников. На гипотенузе прямоугольного треугольника C′E′E_o отложить отрезок C′D_о = 20 мм. Построить треугольник C′D′D_o, подобный треугольнику C′E′E_o. Зная положение горизонтальной проекции точки D (D′), построить фронтальную проекцию точки D (D″).

Задание 2.30

Определить расстояние от точки M до заданной плоскости.

Задание 2.31

Определить расстояние между параллельным плоскостями.

Задание 2.32

Из точки K, лежащей в плоскости, заданной параллельными прямыми m и n, восставить к этой плоскости перпендикуляр длиной 40 мм.

Задание 2.33

На расстоянии 30 мм от плоскости треугольника ABC провести плоскость, параллельную данной.