2. Ортогональное проецирование

2.1. Проецирование точки

Положение точки в пространстве определяется расстоянием от нее от плоскостей проекций W, V и H, то есть координатами x, y и z.

Каждая из трех проекций определяется двумя координатами:

горизонтальная - A′ - координатами x и y. A′(x,y);

фронтальная - A″ - координатами x и z. A″(x,z);

профильная - A″′ - координатами y и z. A″′(y,z).

Пример 2.1

По заданным координатам точки A(40, 20, 30) построить ее проекции.

Решение (рис 2.1)

1. Провести и обозначить оси проекций;

2. Отложить на осях x, y и z проекций в выбранном масштабе отрезки, равные соответственно значениям координат |OA_x| = x_A = 40, |OA_yH| = |OA_yW| = y_A = 20, |OA_z| = z_A = 30.

3. Через полученные точки A_x, A_y и A_z провести линии проекционной связи перпендикулярно осям проекций;

4. Точки пересечения линий проекционной связи определят положение проекций точки A.

5. Проверка: A′ и A″ должны находиться на одном перпендикуляре к оси x. A″ и A″′ должны находиться на одном перпендикуляре к оси z.

Рис. 2.1

Задание 2.1

По заданным координатам точек построить их ортогональные и аксонометрические проекции.

A (25, 30, 35)	D (15, 0, 30)	K (0, 25, 0)
B (40, 20, 25)	E (30, 20, 0)	M (20, 0, 0)
C (0, 45, 20)	F (0, 0, 40)	N (0, 0, 0)

Задание 2.2

По двум заданным проекциям точек построить третью проекцию. Определить положение точек в пространстве.

Задание 2.3

Построить проекции точки A, отстоящей от плоскости H на расстоянии 20 мм, от плоскости V на 10 мм и от плоскости W на 30 мм; точки B, отстоящей от плоскости H на расстоянии 30 мм, от плоскости V – 20 мм и принадлежащей плоскости W.

2.2. Проецирование прямой

Пример 2.2

По заданным горизонтальной и фронтальной проекциям отрезка прямой AB построить его профильную проекцию.

Решение (рис. 2.2)

Положение любой прямой в пространстве вполне определяется положением двух точек, ей принадлежащих. Таким образом, для решения задачи достаточно построить профильные проекции точек A и B.

Пример 2.3

Построить проекции отрезка прямой AB длиной 40 мм, параллельного горизонтальной плоскости проекций и наклоненного к фронтальной плоскости проекций под углом 45^о. Положение точки А задано двумя проекциями.

Решение (рис.2.3)

Поскольку отрезок AB параллелен плоскости H, координата z всех его точек одинакова, следовательно, фронтальная проекция A″B″ параллельна оси x.

Угол β наклона к плоскости V проецируется на плоскость H без искажения. Таким образом, угол между горизонтальной проекцией A′B′ осью x равен 45^о.

Если отрезок параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость он проецируется без искажения, т.е. A′B′ = |AB|. (Задача имеет четыре равновероятных решения. На рис. 2.3 приведено одно из них).

Рис. 2.3

Задание 2.4

По заданным проекциям отрезка прямой AB построить его третью проекцию.

Задание 2.5

Через точку A провести горизонтальный отрезок прямой AB длиной 30 мм с углом наклона к плоскости проекций V

а) β = 30^о, б) β = 60^о.

Задание 2.6

Через точку A параллельно фронтальной плоскости проекций провести отрезок прямой AB длиной 40 мм с углом наклона к горизонтальной плоскости проекций а) α = 30^о, б) α = 45^о,

в) α = 60^о.

Задание 2.7

Построить проекции прямой m, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций и удаленной от плоскости проекций H на расстояние 25 мм, от плоскости проекций W на расстояние 40 мм.

Задание 2.8

Построить проекции горизонтально проецирующей прямой m на расстоянии 30 мм от фронтальной плоскости проекций, 20 мм от профильной плоскости проекций.