Задача №3. Плоскопараллельным движением твердого тела

называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то одной плоскости, называемой основной.

Примерами плоскопараллельного движения могут служить движение колеса на прямолинейном участке пути, движение шатуна кривошипно-ползунного механизма.

Плоскопараллельное движение изучается двумя методами:

1) методом мгновенных центров скоростей и 2) методом разложения плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное.

В основе метода мгновенных центров скоростей лежит следующая теорема: всякое плоскопараллельное перемещение твердого тела может быть получено одним вращением около оси, перпендикулярной основной плоскости.

След мгновенной оси вращения на плоскости фигуры называют мгновенным центром скоростей.

Точка неподвижной плоскости, совпадающая в данный момент времени с мгновенным центром скоростей плоской фигуры, называется мгновенным центром вращения.

Если прямая движется параллельно самой себе, то можно полагать, что тело вращается вокруг оси, удаленной в бесконечность, иначе говоря, поступательное движение можно рассматривать как вращательное по кругу бесконечно большого радиуса.

Таким образом, плоскопараллельное движение тела может осуществляться путем последовательных мгновенных непрерывных поворотов вокруг мгновенных осей вращения.

Методом мгновенных центров скоростей можно пользоваться только при определении скоростей точек плоской фигуры, но не при определении траекторий и ускорений этих точек.

Рассматривая в каждый момент времени сложное плоскопараллельное движение как простейшее — вращательное, можно для вычисления скоростей точек твердого тела применять все формулы вращательного движения.

Установим следующие три свойства мгновенного центра скоростей, вытекающие из закона распределения скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

1) скорость мгновенного центра равна нулю;

2) мгновенный центр лежит на перпендикуляре, восставленном из точки к направлению ее скорости;

3) скорость точки равна произведению мгновенной угловой скорости на расстояние точки от мгновенного центра скоростей (рис. 6):

На основании перечисленных выше свойств можно установить следующие пять способов определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры, определяющей плоскопараллельное движение тела:

1. Известны мгновенная угловая скорость и скорость какой-то точки А плоской фигуры (рис. 6).

В этом случае мгновенный центр скоростей 0 находится на перпендикуляре, восставленном из точки А к вектору скорости на расстоянии .

2. Известны направления скоростей двух точек А и В плоской фигуры (рис. 7).

В этом случае мгновенный центр 0 лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек А и В к направлениям их скоростей, причем

т.е. скорости точек плоской фигуры прямо пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

3. Известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, направлены в одну сторону, перпендикулярны отрезку А В и по модулю не равны (рис. 8). В этом случае мгновенный центр скоростей 0 находится в точке пересечения прямой, соединяющей начала векторов и , с прямой, соединяющей концы этих векторов. Если векторы скоростей точек А и В равны между собой, то мгновенный центр скоростей в данный момент находится в бесконечности, мгновенная угловая скорость равна нулю, скорости всех точек плоской фигуры будут одинаковы и движение будет мгновенно поступательным.

4. Известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, направлены в противоположные стороны и перпендикулярны отрезку АВ (рис.9).

В этом случае мгновенный центр скоростей 0 находится в точке пересечения отрезка АВ с прямой, соединяющей концы векторов и .

5. Известно, что плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой.

В этом случае мгновенный центр скоростей 0 находится в точке соприкосновения фигуры с кривой, так как скорость этой точки фигуры в данный момент равна нулю.