Контрольной работы №2 Задача №1

Для ступенчатого бруса определить:

1. Продольные силы в поперечных сечениях и построить их эпюру;

2. Нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить их эпюру;

3. Опасное сечение и указать выдержит ли брус на прочность;

4. Перемещения сечений и свободного конца бруса, построить эпюру.

Данные для расчета:

F1=100 kH F2=50 kH F3=150 kH E=2*105 MПа

[]=160 MПа A1=6 см2 A2=8,4 см2 A3=7,2 см2

l1=1 м l2=0,6 м l3=0,5 м l4=0,4 м l5=0,7 м

Решение:

Сту­пен­ча­тый брус (рис.9) не­об­хо­ди­мо раз­бить на от­дель­ные уча­ст­ки. От­счет уча­ст­ков про­из­во­дит­ся от сво­бод­но­го кон­ца с тем, что­бы не оп­ре­де­лять ре­ак­цию в за­дел­ке. Гра­ни­ца­ми уча­ст­ков яв­ля­ют­ся се­че­ния в ко­то­рых при­ло­же­ны внеш­ние си­лы или ме­ня­ет­ся пло­щадь поперечного сечения.

Пер­вый уча­с­ток бу­дет меж­ду точ­ка­ми В и С, т.к. в точ­ке С ме­ня­ет­ся пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния. Стер­жень от точ­ки С до точ­ки Е име­ет по­сто­ян­ное се­че­ние, но в точ­ке D при­ло­же­на си­ла F2, по­это­му от точ­ки С до D бу­дет вто­рой уча­с­ток, а от D до Е - тре­тий. В точ­ке Е ме­ня­ет­ся пло­щадь се­че­ния стерж­ня, а в точ­ке М при­ло­же­на си­ла F3, по­это­му чет­вер­тый уча­с­ток - от точ­ки Е до М, пя­тый - от М до Р.

При определении внутренних усилий пользуются методом сечений. Продольная сила N равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на правую от рассматриваемого сечения часть стержня. При этом растягивающие силы являются положительными, а сжимающие - отрицательными.

Рассмотрим сечение 1.

На правую часть стержня действует только одна сила F1.

Эта сила является растягивающей, следовательно продольная сила N1, будет положительная.

N1=F1=100 kH

Рассмотрим сечение 2.

На правую часть стержня действует одна сила F1.

N2=F1=100 kH

Рассмотрим сечение 3.

На правую часть стержня действуют две силы F1 и F2, причем сила F2 является сжимающей, следовательно, должна браться со знаком минус.

N3=F2- F2=100-50=50 kH

Рассмотрим сечение 4.

На правую часть действуют силы F1 и F2.

N4=F1-F2=100-50=50 kH

Рассмотрим сечение 5.

На правую часть действуют силы F1, F2 и F3. Сила F1 растягивающая, силы F2, F3 - сжимающие.

N5=F1-F2-F3=100-50-150=-100 kH

Найдя значение внутренних усилий на каждом участке, строим эпюру продольных сил N. Положительные значения сил откладывают сверху оси, отрицательные - снизу

Нормальные напряжения в поперечном сечении находят по формуле:

=N/A

на участке 1:

1=N1/A3=(100_*10³ H)/(7,2_*10^-4 м²)=139_*10⁶ Па=139 МПа

на участке 2:

2=N2/A2=(100_*10³ H)/(8,4_*10^-4 м²)=119 МПа

на участке 3:

3=N3/A2=(50_*10³ H)/(8,4_*10^-4 м²)=59,5 МПа

на участке 4:

4=N4/A1=(50_*10³ H)/(6_*10^-4 м²)=83 МПа

на участке 5:

5=N5/A1=(-100_*10³ H)/(6_*10^-4 м²)=-166,7 МПа

Строим эпюру нормальных напряжений. Положительные значения откладываем сверху, отрицательные - снизу от оси.

Поскольку допускаемое напряжение [] дано без индексов растяжения и сжатия, т.е. не [р] , [с], оно имеет одинаковое значение как на растяжение, так и на сжатие. Поэтому опасное сечение будет на том участке, где  имеет наибольшее абсолютное значение. т.е. без учета знака. Им является 5 участок, где =-166,7 МПа

Условие прочности max=166,7 МПа <=[]=160 МПа

В данном случае действующее на 5 участке напряжение превосходит допускаемое. Но превышение до 5% считается не существенным и полагают, что прочность в таком случае обеспечение. Определяем процент превышения

((166,7-160)/160)_*100=4,18% <5%

следовательно, выдержит на прочность.

Величины деформаций каждого участка определяют по формуле:

l=(N_*l)/(E_*A)

для 1-го участка

l1=(N1_*l1)/(E_*A3)=(100_*10³_*1)/(2_*10⁵_*10⁶_*7,2_*10⁴)=0,695 мм

для 2-го участка

l2=(N2_*l2)/(E_*A2)=(100_*10³_*0,6)/(2_*10⁵_*10⁶_*8,4_*10⁴)=0,357 мм

для 3-го участка

l3=(N3_*l3)/(E_*A2)=(50_*10³_*0,5)/(2_*10⁵_*10⁶_*8,4_*10⁴)=0,143 мм

для 4-го участка

l4=(N4_*l4)/(E_*A1)=(50_*10³_*0,4)/(2_*10⁵_*10⁶_*6_*10⁴)=0,167 мм

для 5-го участка

l5=(N5_*l5)/(E_*A1)=(-100_*10³_*0,7)/(2_*10⁵_*10⁶_*6_*10⁴)=-0,583 мм

Знак минус говорит о том, что 5 участок сжимается. Строим эпюру перемещений.

В сечении P перемещения отсутствуют. Сечение М сместится относительно Р на величину деформации 5-го участка.

M=l5=-0,583 мм

Сечение Е сместится на величину деформаций 5 и 4 участков

E=l5+_l4=-0,583+0,167=-0,416 мм

Сечение D сместится на величину деформации 5,4 и 3 участков

D=-0,583+0,167+0,149=-0,267 мм

Сечение С сместится на величину деформации 5,4,3,2 участков

С=-0,583+0,167+0,149+0,357=0,09 мм

Сечение В сместится на величину деформации 5,4,3,2,1 участков

В=-0,583+0,167+0,149+0,357+0,695=0,785 мм

Величина В и является величиной перемещения свободного конца.