2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Дадим определения этих произведений в краткой форме.
а)
Скалярное произведение векторов
и
б) Векторное произведение векторов и
-
есть вектор
удовлетворяющий
требованиям:
1)
2)
3)тройка
правая, т.е. кратчайший поворот от вектора
к вектору
имеющих общее начало, виден из конца
вектора
(с тем же началом) совершающимся против
часовой стрелки.
в)
Смешанное произведение векторов
Введенные
операции умножения над векторами
обладают свойствами ассоциативности
и дистрибутивности. Свойство коммутативности
верно лишь для скалярного произведения.
При
перемене мест сомножителей в векторном
произведении изменяется знак
(антикоммутативность):
То же может произойти и в смешанном
произведении. Например,
Учитывая
свойство антикоммутативности векторного
произведения, можно обращаться с
введенными произведениями векторов
как с обычным произведением чисел.
Например,
Здесь
учтено, что векторное произведение
коллинеарных векторов равно нулю (здесь
и далее вместо
пишем просто 0).
Имеют место следующие утверждения, вытекающие из а), б) и с).
Скалярное
произведение
векторов
и
равно нулю
когда
векторы
и
ортогональны друг другу.
Векторное
произведение
равно нулю
когда векторы
и
коллинеарны.
Смешанное
произведение
равно
нулю
когда векторы
,
и
компланарны (т.е. все они либо лежат в
одной плоскости, либо находятся в
параллельных плоскостях).
Геометрический
смысл:
а)
модуль
векторного произведения численно равен
площади параллелограмма, построенного
на векторах
и
;
б) модуль
смешанного произведения равен объёму
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
и
.
Прежде чем дать формулы для вычисления произведений векторов в координатной форме, введем понятие определителей второго и третьего порядков:
Теорема
4. Если
векторы
и
заданы своими координатами
в базисе
то имеют место формулы:
а)
(скалярное произведение;)
б)
(векторное
произведение);
в)
(смешанное
произведение).
Доказательство проведем лишь для скалярного произведения. Имеем
Учитывая,
что векторы
попарно
ортогональны, получаем, что в этой сумме
только слагаемые с множителями
не равны нулю; все другие слагаемые
равны нулю. Значит, имеет место формула
Теорема
доказана.
Лекция 2. Плоскость и прямая в пространстве
Сначала
заметим, что множество всех точек
удовлетворяющих уравнению
(если его можно разрешить относительно
хотя бы одной из переменных
)
является уравнением некоторой
поверхности
.
Это означает, что любая точка
удовлетворяет
уравнению
и, напротив, если
то
она не удовлетворяет этому уравнению.
1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках
П
усть
в пространстве
задана плоскость
и пусть
фиксированная точка, а
произвольная (текущая) точка этой
плоскости. Посмотрим, какому уравнению
будет подчинена произвольная точка
плоскости
Пусть
вектор нормали к плоскости
Так как
то скалярное произведение
Мы получили
уравнение
плоскости, проходящей через фиксированную
точку
с вектором нормали
(1)
Раскроем
в (1) скобки и обозначим
Получим
общее
уравнение плоскости:
Имеет место следующее очевидное
утверждение.
Теорема
1. Любое
линейное уравнение (2) задаёт в пространстве
плоскость
с вектором нормали
И обратно: любая плоскость в
описывается
линейным уравнением (2).
Если
числа
не равны нулю, то уравнение
называют “уравнением
плоскости в отрезках” (впредь
кавычки будем опускать). При этом
являются величинами (с учётом знака)
отрезков, отсекаемых плоскостью от осей
соответст-венно. Эта плоскость проходит
через точки
факт, удобный при изображении этой
плоскости в пространстве. Из общего
уравнения (2) плоскости легко получить
ее уравнение в отрезках:
(если, конечно, числа, записанные в
знаменателях, существуют).