1.Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису
Рассмотрим
сначала
случай линейного оператора
,
действующего из пространства
в себя.
Итак,
пусть в линейном пространстве
заданы два базиса:
и
Разложим “новые” базисные вектора в
линейные комбинации “старых” базисных
векторов:
Стоящая
здесь матрица
м
столбцом которой является координатный
столбец
го
базисного вектора
в “старом” базисе
называется матрицей перехода от
“старого”базиса к “новому“.
Если теперь
координаты вектора
в “старом” базисе
а
координаты того же вектора
в “новом” базисе
то имеет место равенство
Так как разложение по базису единственно, то отсюда следует, что
Получен следующий результат.
Теорема
1. Координаты
вектора
в базисе
и координаты
того же вектора в базисе
связаны соотношениями (2), где
матрица перехода от “старого”базиса
к “новому“
.
Посмотрим
теперь, как связаны между собой матрицы
и
одного и того же оператора
в различных базисах
и
пространства
Матрицы
и
определяются равенствами
Пусть
Это равенство в базисе
равносильно
матричному равенству
а
в базисе
матричному равенству
(
здесь приняты те же обозначения, что и
в (1)). Используя теорему (1), будем иметь
так
как столбец
произвольный,
то отсюда получаем равенство
Доказан следующий результат.
Теорема
2. Если
матрица оператора
в базисе
а
матрица того же оператора в базисе
то
Замечание
1. Две
произвольные матрицы
и
связанные соотношением
где
некоторая невырожденная матрица
называются
подобными матрицами. Таким
образом, две матрицы одного и того же
оператора в различных базисах подобны.
Пример
1. Матрица
оператора
в базисе
имеет
вид
Найти
матрицу
этого оператора в базисе
Вычислить
координаты вектора
в базисе
Решение.
Матрица
перехода от старого базиса к новому и
обратная к ней матрица имеют вид
поэтому по теореме 2 матрица оператора и новом базисе будет такой:
Далее,
вектор
имеет следующий координатный столбец
в базисе
По теореме 1 координатный столбец этого
вектора в базисе
будет иметь вид
Пусть
теперь оператор
действует из линейного пространства
в другое линейное пространство
и пусть в пространстве
выбраны два базиса:
и
а в пространстве
– базисы
и
. Тогда можно составить две матрицы
и
линейного оператора
и
две матрицы
и
перехода от “старых” базисов к “новым”:
Нетрудно
показать, что в этом случае имеет место
равенство
2. Ядро и образ линейного оператора
Пусть
дан линейный оператор
действующий
из линейного пространства
в
линейное пространство
Следующие
понятия бывают полезными при решении
линейных уравнений.
Определение
1.
Ядром
оператора
называется множество
Образом
оператора
называется множество
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема
3. Ядро
и образ линейного оператора являются
линейными подпространствами пространств
и
соответственно, причем имеет место
равенство
Для
вычисления ядра оператора
надо записать уравнение
в матричной форме (выбрав базисы в
пространствах
и
)
и решить соответствующую алгебраическую
систему уравнений. Поясним теперь, как
можно вычислить образ оператора
.
Пусть
матрица оператора
в каком-нибудь базисе
.
Обозначим через
-й
столбец матрицы
Принадлежность вектора
образу
означает, что существуют числа
такие, что вектор столбец
представляется в виде
т.е.
является элементом пространства линейных
комбинаций столбцов
матрицы
Выбрав в этом пространстве базис
(например,
максимальную совокупность линейно
независимых столбцов матрицы
),
вычислим сначала образ оператора-матрицы
:
а затем построим образ оператора
:
Пример
2. Найти
матрицу, ядро и образ оператора
проектирования
на плоскость
(
трехмерное
пространство геометрических векторов).
Решение.
Выберем
в пространстве
какой-нибудь базис (например, стандартный
базис
).
В этом базисе матрица
оператора проектирования
находится из равенства
Найдем образы базисных векторов. Так
как плоскость
проходит через ось
то
Д
алее
(см. Р10)
И аналогично
Таким образом,
Значит, матрица оператора имеет вид
Ядро оператора-матрицы вычисляем из уравнения
Таким образом,
(
произвольная
постоянная).
Образ
оператора-матрицы
натянут на все линейно независимые
столбцы матрицы
т.е.
поэтому
(
произвольные
постоянные).