Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Линал_Reshebnik.pdf
Скачиваний:
435
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
1.51 Mб
Скачать

Решебник по линейной алгебре

Издание второе, дополненное

Москва, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

1)

A

ПРОВЕРЬТЕ СПРАВЕДЛИВОСТЬ РАВЕНСТВА DET(AB)=DET(A)·DET(B) ДЛЯ

 

1

2

5

6

 

 

 

 

 

B

 

 

.......................................................................................................................................

14

 

3

4

 

 

7

8

 

 

 

 

 

 

 

2) КАКИЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ СЛЕДУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МОЖНО ОБЪЯВИТЬ

ГЛАВНЫМИ:

x

3x

2

3x

3

x

4

8

 

1

 

 

 

 

x

3x

 

3x

 

x

 

2

 

2

3

4

1

 

 

 

 

? .........................................................................................................

15

3) НАЙДИТЕ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ И ОДНО ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ

5x

3x

2

5x

3

12x

4

8

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1

2x2

3x3

5x4

4

 

 

 

 

 

УРАВНЕНИЙ

 

 

 

 

16

 

x

7x

 

9x

 

4x

 

 

8

 

 

 

 

 

 

2

3

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

Q( X ) 25 x 2

14 x x

2

2x 2

ЗАДАНА В БАЗИСЕ E1, E2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

ЗАПИШИТЕ ЭТУ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ В БАЗИСЕ E1’=E1+E2, E2’=E1−E2. ..................................

17

5)

ПРОВЕРЬТЕ ТОЖДЕСТВО (AB)*=B*A* ДЛЯ A 4 5 6 И

6)

НАЙДИТЕ ВСЕ ВЕКТОРЫ, ПЕРЕХОДЯЩИЕ В ВЕКТОР 1,

B

0,

 

1

2

 

 

1

3

 

 

 

...................................

18

 

2

1

 

 

 

 

 

 

1 ПОД ДЕЙСТВИЕМ

 

1

 

2

ОПЕРАТОРА, ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ

 

5

 

7) ВЫЧИСЛИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ AB, ЕСЛИ

5

 

4

1

 

 

2

 

3

 

 

8

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

 

,

B

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

............................................................

 

19

1

 

 

 

 

 

 

4

5

6 . ..............................................

20

8) НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО

 

 

 

 

 

 

4

0

 

ОПЕРАТОРА, ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ

 

. ...................................................................................

21

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

3

4

3

 

 

 

 

0

6

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

22

9)ВЫЧИСЛИТЕ det

5

4

2

1

. ...........................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ И КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ

УРАВНЕНИЯ

 

1

 

 

 

2

 

3 x

 

 

1

 

6

 

 

x2

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

................................................................................................................23

11) НАЙДИТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС, В КОТОРОМ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

 

Q( X ) 4x 2

10 x x

2

4x 2

ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД..............................................................

24

1

1

2

 

 

2

1

 

 

12) ОПРЕДЕЛИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ A

4

 

7

 

13) НАЙДИТЕ МАТРИЦУ X ИЗ УРАВНЕНИЯ

2 5 8

21

3

6

 

 

9

 

 

5

 

 

 

 

3

.................................................................................

 

 

25

2

1

 

X

 

..........................................................

26

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

14) ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ A1=(1,1,1,1), A2=(1,2,3,4), A3=(5,6,7,8), A4=(4,3,2,1), A5=(1,1,-

1,-1) ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ?..........................................................................................................................

27

15) ЗАПИШИТЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ, ИМЕЮЩУЮ ДАННУЮ МАТРИЦУ

1

2

3

 

 

 

 

 

A

2

4

5

 

 

3

5

6

 

 

 

.....................................................................................................................................................................................28

16) С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА КРАМЕРА РЕШИТЕ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ

3x

 

5x

2

2

 

1

 

 

 

x

9x

 

4

 

2

1

 

 

 

 

........29

17) НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ПЕРЕХОДА ОТ БАЗИСА E1=(3, 2), E2=(2, 1) К БАЗИСУ E1’=(2, −2), E2’=(−1,

6) .................................................................................................................................................................................30

3

5

 

18) ВЫЧИСЛИТЕ A-1, ЕСЛИ A

 

 

.........................................................................................................

31

 

5

9

 

 

 

 

 

0

2

 

 

19) ЗАДАНЫ МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В НЕКОТОРОМ БАЗИСЕ A

 

 

 

И

 

1

3

 

 

 

 

 

2

1

 

МАТРИЦА ПЕРЕХОДА К ДРУГОМУ БАЗИСУ T

 

 

. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ОПЕРАТОРА В

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

НОВОМ БАЗИСЕ. ...................................................................................................................................................

 

 

32

20) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ СИСТЕМЫ СТОЛБЦОВ

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

A

 

 

2

 

A

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

2

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

21) МОГУТ ЛИ МАТРИЦЫ

A4

1

2

1

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

..............................................................................................................

33

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

ИБЫТЬ МАТРИЦАМИ ОДНОГО ОПЕРАТОРА В

2 2

РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСАХ? ....................................................................................................................................

34

22) РЕШИТЕ МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ

2

1

3

2

2

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

3

2

 

 

5

 

 

3

 

 

 

3

 

41

, ГДЕ X −

МАТРИЦА РАЗМЕРА 2 Х 2. .................................................................................................................................

35

23) НАЙДИТЕ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

x

2x

2

x

3

 

1

 

 

x

2x

 

x

 

 

2

3

1

 

 

1

1

......36

24) ВЫЯСНИТЕ, ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ВЕКТОРЫ A1=(2, −3, 1), A 2=(3, −1,5), A3=(1, −4, 3) ЛИНЕЙНО

 

ЗАВИСИМЫМИ......................................................................................................................................................

37

3

 

 

x

2x

2

x

3

1

 

25) ПОЛУЧИТЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

1

 

 

 

В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ

x

2x

 

x

 

1

 

 

 

2

3

 

 

 

1

 

 

 

 

X A

1

B

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

 

 

26) НАЙДИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ

1

2

1

 

2

3

2

 

 

3

1

3

 

. СКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ СТРОК

СОДЕРЖИТ ЭТА МАТРИЦА? СКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ СТОЛБЦОВ СОДЕРЖИТ ЭТА

 

МАТРИЦА? ..............................................................................................................................................................

 

 

 

 

39

27) НАЙДИТЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНУЮ СИСТЕМУ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ

 

x

2x

 

x

0

 

УРАВНЕНИЙ 1

 

2

3

.......................................................................................................................

40

x1 x2 x3 0

 

1

2

3

5

 

28) РЕШИТЕ МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ X

 

 

41

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

29)

X

НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ

 

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ГДЕ X − МАТРИЦА РАЗМЕРА 2 Х 2......................................................................................

42

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ

 

1

2

3

4

5

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

5

6

7

X

0

..............................................................................................................................

43

 

4

6

8

10

12

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31) КАК ЗАВИСИТ РАНГ МАТРИЦЫ А

1

 

1

 

ОТ ЧИСЛА Λ? ..................................................

44

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32)

ВЫЧИСЛИТЕ РАНГ МАТРИЦЫ AB, ЕСЛИ A

2

, B 4 5 6 ..............................................

45

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33)

КАКОВА РАЗМЕРНОСТЬ ЯДРА И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С

 

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНОМ ( ) ( 1)( 2) ..............................................

46

34)

ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПЕРЕВОДИТ ПРОСТРАНСТВО С БАЗИСОМ

 

e1

cos x , e2

sin x В СЕБЯ. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЭТОГО ОПЕРАТОРА. .......................................

47

35)

НАЙДИТЕ СИММЕТРИЧНУЮ БИЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ В, О КОТОРОЙ ИЗВЕСТНО, ЧТО

 

B(x, x) x 2 6x x

2

3x 2 ПРИ ВСЕХ x R3 ..............................................................................................

 

 

48

 

1

1

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

36)

ПУСТЬ

 

 

− ОДНА ИЗ МАТРИЦ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. ЕСТЬ ЛИ СРЕДИ

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

МАТРИЦ ЭТОГО ОПЕРАТОРА ДИАГОНАЛЬНАЯ? ....................................................................................

49

1

2

3

 

 

 

 

 

37) ПРОВЕРЬТЕ, ЧТО ФОРМУЛА Q( X ) det x1

x2

x3

ОПРЕДЕЛЯЕТ НА ПРОСТРАНСТВЕ

 

x2

x1

 

x3

 

R3 КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ, И НАЙДИТЕ ЕЕ МАТРИЦУ

......................................................................50

4

38) ПРОВЕРЬТЕ, ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЛИ ФОРМУЛА

x

y

 

x

 

 

 

1

 

2

 

3

 

 

 

 

 

det

1

2

3

 

 

y

x

 

y

 

 

 

2

3

 

1

 

 

НА ПРОСТРАНСТВЕ R3

БИЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ, И В СЛУЧАЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОТВЕТА НАЙДИТЕ ЕЕ МАТРИЦУ.

.....................................................................................................................................................................................

 

 

51

39) НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С МНОЖЕСТВОМ

 

РЕШЕНИЙ C,2C,3C : C . ......................................................................................................................

52

40)

НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДЛЯ

 

КОТОРОЙ СТРОКИ (1, 2, 3) И (4, 5, 6) ЯВЛЯЮТСЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ

 

РЕШЕНИЙ (Т.Е. БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ ЭТОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ), ИЛИ

 

ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКОЙ СИСТЕМЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. ......................................................................

53

41)

СОВПАДАЮТ ЛИ ЛИНЕЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ lin(a1 , a2 ) И lin(b1 ,b2 ) , ГДЕ

 

a1

1, 2, 3 , a2 4, 5, 6 , b1 3, 2, 1 , b2 6, 5, 4 ?................................................................................

54

42)

НАЙДИТЕ КАКИЕ-НИБУДЬ МАТРИЦЫ A И В ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДЛЯ КОТОРЫХ RANG

(AB)≠RANG(BA), ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКИХ МАТРИЦ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. ................................

55

43)

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ МНОЖЕСТВО ВСЕХ МАТРИЦ ВТОРОГО

 

ПОРЯДКА (С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ), У КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ЛИНЕЙНО

 

ЗАВИСИМЫЕ СТРОКИ? ......................................................................................................................................

56

44)

НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА

(С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ), У КАЖДОЙ ИЗ КОТОРЫХ СУММА ДИАГОНАЛЬНЫХ

 

ЭЛЕМЕНТОВ РАВНА НУЛЮ, И ВЫЧИСЛИТЕ КООРДИНАТЫ МАТРИЦЫ

 

 

1

2

 

A

ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОГО БАЗИСА. .......................................................................................

57

 

 

 

 

 

3

1

 

45) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ

1

2

3

4

A

 

 

 

 

 

6

7

8

9

 

5 10

........................................................................................................................................58

48) НАЙДИТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС, В КОТОРОМ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

Q x

2

 

1

 

4x x

2

1

4x

2

2

 

ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД. ............................................................................

61

50) НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВСЯКОЕ РЕШЕНИЕ

КОТОРОЙ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ (3+С, 2−2С, 1−3С) ПРИ НЕКОТОРОМ

C R

............63

 

2

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

51) НАЙДИТЕ A-1

ДЛЯ A

0

2

1 . ...................................................................................................

64

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

2

5

 

1

1

3

4

 

53) ДОКАЖИТЕ, ЧТО МАТРИЦЫ

 

,

 

 

 

,

 

 

,

 

ОБРАЗУЮТ БАЗИС В

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

1

1

 

 

3

 

1

5

7

 

ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА, И НАЙДИТЕ

 

 

5

 

14

 

 

 

 

 

 

КООРДИНАТНЫЙ СТОЛБЕЦ МАТРИЦЫ

 

 

 

 

. ..................................................................................

 

 

 

 

66

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

55) ОТОБРАЖЕНИЕ

: L1 L2

ПРОСТРАНСТВА ДВУХМЕРНЫХ СТРОК В ПРОСТРАНСТВО

 

 

x

y

КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗАДАНО ФОРМУЛОЙ ((x, y))

 

.

 

 

 

x

 

 

 

y

 

ДОКАЖИТЕ ЛИНЕЙНОСТЬ ЭТОГО ОТОБРАЖЕНИЯ И НАЙДИТЕ ЕГО МАТРИЦУ В КАКИХ-

 

НИБУДЬ БАЗИСАХ. ..............................................................................................................................................

68

5

56) ОТОБРАЖЕНИЕ

: L1

L2

ПРОСТРАНСТВА КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО

ПОРЯДКА В СЕБЯ ПЕРЕВОДИТ ВСЯКУЮ МАТРИЦУ А В ТРАНСПОНИРОВАННУЮ МАТРИЦУ

А*, Т.Е. ( A) A*. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В КАКОМ-НИБУДЬ

БАЗИСЕ.....................................................................................................................................................................

 

 

69

57) ОТОБРАЖЕНИЕ

: L1

L2

ПРОСТРАНСТВА КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО

ПОРЯДКА В СЕБЯ ЗАДАНО ФОРМУЛОЙ

( A)

A B

, ГДЕ

1

2

B

 

 

 

 

3

4

 

 

 

− ЗАДАННАЯ

МАТРИЦА. НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В КАКОМ-НИБУДЬ БАЗИСЕ.......

70

59) НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА

 

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

 

ФУНКЦИЙ. ..............................................................................................................................................................

72

60) ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ [−Π, Π]

 

ФУНКЦИЙ SIN(X) И COS(X) ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНО СКАЛЯРНОГО

 

ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 

 

f , g

 

 

 

f

(x)g(x)dx

?.....................................................................................................

73

61)

НАЙДИТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС, В КОТОРОМ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

 

 

2

4x1 x2 4x2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q x1

 

ИМЕЕТ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД. ...........................................................................

74

62)

ЛИНЕЙНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО R3 В НЕКОТОРОМ ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

 

ЗАДАНО УРАВНЕНИЕМ x1 x2 x3 0 . НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ

 

ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС ЭТОГО ПОДПРОСТРАНСТВА. ........................................................

75

64)

НАЙДИТЕ ОРТОГОНАЛЬНУЮ ПРОЕКЦИЮ xM

 

И ОРТОГОНАЛЬНУЮ

 

 

 

СОСТАВЛЯЮЩУЮ xM

 

ВЕКТОРА x (7, 3,

1)

НА ПОДПРОСТРАНСТВО М,

 

 

 

ПОРОЖДЕННОЕ ВЕКТОРАМИ a1

(1, 1, 1)

И a1

(4, 0, 5) . ....................................................................

77

65)

ПУСТЬ x (x1 , x2

,

x3 ) , y ( y1

, y2 , y3 )

. МОЖЕТ ЛИ ФУНКЦИЯ

 

F (x, y) x y

2x y

2

2x

2

y

5x

2

y

2

1

1

1

 

1

 

 

2x y

3

1

2x

3

y

 

1

7x

3

y

3

 

 

СЛУЖИТЬ СКАЛЯРНЫМ

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ?..............................................................................................................................................

 

 

 

 

 

78

66)???ПУСТЬ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕКОТОРОГО

БАЗИСА ЗАДАНО ФОРМУЛОЙ x

y x y

x y

2

. НАЙДИТЕ ФОРМУЛУ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

e1

' (1, 2)

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО НОВОГО БАЗИСА

.......................................................79

 

 

 

 

 

e2

' (2, 1)

67) НАЙДИТЕ ДЛИНУ ВЕКТОРА x (1, 1)

ОТНОСИТЕЛЬНО СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

x

y x y

x y

2

x y

3x y

2 . ................................................................................................................

 

 

 

 

80

 

1

1

1

2

1

2

 

 

 

 

 

68) ПОСТРОЙТЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС В ПОДПРОСТРАНСТВЕ R3,

ПОРОЖДЕННОМ ВЕКТОРАМИ a1 1, 3, 1 , a2

4, 5, 3 . ..............................................................

 

 

81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

69) ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ САМОСОПРЯЖЕННЫМ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ

 

 

, ЕСЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

МАТРИЦА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 

?..........................................................................

 

 

82

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

70) НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ОПЕРАТОРА, ПЕРЕВОДЯЩЕГО ВЕКТОРЫ ПЛОСКОСТИ В ИХ ПРОЕКЦИИ НА ПРЯМУЮ С УРАВНЕНИЕМ x y 0 , ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА ИЗ

ЕДИНИЧНЫХ ВЕКТОРОВ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ. ................................................................................

83

6

71) НАЙДИТЕ ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С МАТРИЦЕЙ

1

2

 

4

5

 

 

7

8

 

3

6

 

 

9

 

 

. ....................................84

72) НАЙДИТЕ ОБРАЗ ЕДИНИЧНОГО КВАДРАТА ПРИ ЛИНЕЙНОМ ОТОБРАЖЕНИИ С

 

 

 

 

 

y

 

x 2x

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФОРМУЛОЙ

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

85

y

 

x x

 

1 . .......................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73)

НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ МНОГОЧЛЕНА

 

p(x) x

3

3x

2

1 ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА

 

 

 

1, x, x

2

, x

3

И ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА 1, x,

x

2

, x

3

x

2

 

 

 

 

86

 

 

 

 

 

. .......................................................................

 

 

 

74)

НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Х ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА E1, E2, ЕСЛИ ИЗВЕСТНЫ

ЕГО КООРДИНАТЫ {1;4} ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА E1 , E2, ПРИЧЁМ E112, E2=2Е1−Е2........87

75)

НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ С ЗАДАННЫМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ

БАЗИСЕ КООРДИНАТАМИ a 4, 0, 2, 0, 4 И b 1, 3, 1, 3, 4 ....................................................

 

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

76)

НАЙДИТЕ БАЗИС, В КОТОРОМ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ

БУДЕТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

ИМЕТЬ ДИАГОНАЛЬНУЮ ФОРМУ. ...............................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

77)

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

Q 25 x1

 

14 x1 x2 2x2

ПОЛОЖИТЕЛЬНО

ОПРЕДЕЛЕННОЙ ФОРМОЙ? ............................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

78) ПУСТЬ

1

2

A

 

 

 

4

5

 

3

 

 

6

 

 

,

B 7

8

9

. НАЙДИТЕ

AB, A* B, A* B* , BA, B* A, B* A* ,

AB

 

, BA

 

 

 

В ТЕХ СЛУЧАЯХ, КОГДА УМНОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНО. ........................................................................

91

79)

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ МНОЖЕСТВО ВСЕХ КВАДРАТИЧНЫХ

 

ФОРМ С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НА ВЕЩЕСТВЕННЫЕ

 

ЧИСЛА? ....................................................................................................................................................................

92

80)

ПРОВЕРЬТЕ, ЧТО СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С МАТРИЦЕЙ

 

5

 

 

 

2

 

2

 

 

8

 

 

ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ (ЭТО ОБЩЕЕ

СВОЙСТВО СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ)....................................................................................................

93

81) УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС ПРОСТРАНСТВА ВСЕХ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ

 

ВТОРОГО ПОРЯДКА. ...........................................................................................................................................

94

 

1

2

5

6

 

 

82) ПРОВЕРЬТЕ СПРАВЕДЛИВОСТЬ РАВЕНСТВА (AB)C=A(BC) ДЛЯ

A

 

 

 

, B

 

 

 

,

 

 

3

4

 

 

7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

C

 

..............................................................................................................................................................

95

 

2

 

 

 

3

 

83)

ЛИНЕЙНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО R3 В НЕКОТОРОМ ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

ЗАДАНО УРАВНЕНИЕМ x1 2x2

x3 0 . НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ

 

ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС ЭТОГО ПОДПРОСТРАНСТВА. ........................................................

96

84)

ОПРЕДЕЛИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ И НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС ЛИНЕЙНОЙ

ОБОЛОЧКИ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ p 3x2 2x 1,

p

2

4x2 3x 2

,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

p

3

3x2 2x 3 , p

4

x2 x 1

, p

5

4x2 3x 3. ...............................................................................

 

 

 

97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

85)

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ e x , e2 x , e3 x ИЗ ПРОСТРАНСТВА C ( ) ЛИНЕЙНО

ЗАВИСИМОЙ? ........................................................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

98

7

86) НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРА,

 

ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ...................................................................................................................................

99

3

1

 

 

 

A

0

2

 

0

1

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

..................................................................................................................................................99

87) НАЙДИТЕ ВЕКТОР, ДОПОЛНЯЮЩИЙ ДО ОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА СИСТЕМУ

ВЕКТОРОВ

 

2

,

1

,

 

 

 

 

3

 

3

 

2 3

 

,

 

1

,

 

 

 

3

 

2

,

3

 

2 3

 

.....................................................................................................100

88) ЗАПИШИТЕ В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ

x

2x

2

x

3

1

 

 

1

. ......................................101

89) ПРОВЕРЬТЕ, ЧТО ФОРМУЛА

x

x

2

x

3

1

 

 

y

y

2

y

3

1

 

 

1

2

3

ОПРЕДЕЛЯЕТ НА ПРОСТРАНСТВЕ R3

БИЛИНЕЙНУЮ

ФОРМУ, И НАЙДИТЕ ЕЕ МАТРИЦУ. ............................................................................

102

90)

ВЫЯСНИТЕ,

ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫМИ ВЕКТОРЫ a1

1, 2, 3 ,

a2

4, 5, 6 , a3

7, 8, 9 . ..............................................................................................................................

103

91)

ЗАПИШИТЕ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ

 

Q(X ) 6x

2

4x x

 

4x x

5x

2

 

2

 

1

 

1

1

3

2

 

7x

2

 

3

 

...................................................................................................104

92) ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОЙ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА

B( X ,Y ) 25x y

7x y

2

1

1

1

7x

2

y

 

1

2x

2

y

2

 

 

? .................................................................................................

105

93) ОБРАЗУЕТ ЛИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО МНОЖЕСТВО ВСЕХ НЕВЫРОЖДЕННЫХ

 

МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И

 

УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ НА ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА? ......................................................................

106

94) ОСТАНЕТСЯ СТРОК a1 , . . . , a

ЛИ МНОЖЕСТВО RN ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ, ЕСЛИ СУММОЙ

 

n И b1 , . . . ,bn СЧИТАТЬ СТРОКУ a1b1 , . . . , an bn ? ..............................................

107

95)

НАЙДИТЕ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА, КОТОРЫЙ КАЖДОЙ СТРОКЕ

 

ЧИСЕЛ ИЗ R3 СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ СУММУ ЭТИХ ЧИСЕЛ.....................................................

108

96)

МОГУТ ЛИ ФОРМУЛЫ x 2

4x 2

И 4x

2 x 2 БЫТЬ ФОРМУЛАМИ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ

 

 

 

 

 

1

2

 

1

2

 

КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ДЛЯ РАЗНЫХ БАЗИСОВ? .............................................................................

109

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

97)

МОЖЕТ ЛИ МАТРИЦА

БЫТЬ МАТРИЦЕЙ ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

ОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ ОРТОНОРМИРОВАННОМУ БАЗИСУ?..........

110

 

 

 

 

 

1

2

1

1

 

 

98)

МОГУТ ЛИ МАТРИЦЫ

И

 

 

БЫТЬ ПОЛУЧЕНЫ ОДНА ИЗ ДРУГОЙ В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

2

 

 

РЕЗУЛЬТАТЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ?..........................................................................

111

99)

ОПРЕДЕЛИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ МНОЖЕСТВА ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

4

5

6

 

 

 

 

 

 

МАТРИЦЕЙ

. ...................................................................................................................................

 

 

 

 

112

 

 

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

100) НАЙДИТЕ КАКУЮ-НИБУДЬ МАТРИЦУ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА, КОТОРЫЙ КАЖДОМУ МНОГОЧЛЕНУ Р(Х) НЕ ВЫШЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ

ЧИСЛО

1

0

p(x)dx

. .................................................................................................................................................113

101) ВСЕГДА ЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ ЯВЛЯЕТСЯ СИММЕТРИЧНОЙ

МАТРИЦЕЙ? .........................................................................................................................................................

114

102) РЕШИТЕ МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ

 

1

1

1

1

2

 

 

 

X

 

 

 

 

 

2

3

 

 

4

1

5

 

 

 

 

 

......................................115

103) ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР МАТРИЦЫ A РАЗМЕРА 3Х3, У КОТОРОЙ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ РАЗНЫЕ

И RANG(A)=1, ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКОЙ МАТРИЦЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. ..............................

116

104) НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА (С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ) И ВЫЧИСЛИТЕ КООРДИНАТЫ

1

2

 

 

 

A=

 

 

 

ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОГО БАЗИСА. .........................................................................................

117

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

105) СОСТАВЬТЕ УРАВНЕНИЕ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ABC, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ

ВЕРШИНЫ С, ГДЕ

A(0,1) ,

B(6,5)

, C

(12, 1)

. ..............................................................................................118

106) НАЙДИТЕ ДЛИНУ МЕДИАНЫ, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ А, В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ABC

С ВЕРШИНАМИ

A(3, 1,5)

, B

(4,2, 5)

, C

( 4,0,3)

.....................................................................................119

107) В КАКОЙ ТОЧКЕ ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ

A( 1, 3,1)

, B(2,1, 4)

ПЕРЕСЕКАЕТ ПЛОСКОСТЬ x 2y z 8 0 ?.......................................................................................

120

108) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ

 

ПРЯМЫЕ

x 3

 

y

 

z 1

И

x 1

 

y 1

 

z

121

2

1

2

2

1

2 . .....................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

109) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ

A( 4,3,0)

x 2 y z 4

 

 

 

 

 

 

ПАРАЛЛЕЛЬНО ПРЯМОЙ .................................................................................................

 

 

 

 

 

122

2x y z 0

 

 

 

 

 

 

110) ОПРЕДЕЛИТЕ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ

x 1

 

y 3

 

z

И ПЛОСКОСТИ

2

4

3

 

 

 

 

3x 3y 2z 5 0 ............................................................................................................................................

 

 

 

 

 

123

111) НАЙДИТЕ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ

A(3, 5,7)

НА ПЛОСКОСТЬ

x y z

0

............................124

112) НАЙДИТЕ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ

A(1,2)

НА ПРЯМУЮ

3x

y 9 0

.......................................125

113)

ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ВЕРШИНАМИ A( 3,5,6) , B(1, 5,7) ,

 

C(8, 3, 1) , D(4,7, 2) ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТОМ....................................................................................

126

114)

НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ 2x y 3z 9 0

,

x 2 y 2z 3 0 , 3x y 4z 6 0 . ......................................................................................................

127

 

2x 3y 3z 9 0

 

115)

ПРИВЕДИТЕ ПРЯМУЮ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ: . ........................

128

 

4x 2y z 8 0

 

116)

ДАНЫ ТРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ВЕРШИНЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

 

A(11, 4) , B( 1, 1) , C(5, 7) . ОПРЕДЕЛИТЕ КООРДИНАТЫ ЧЕТВЁРТОЙ ВЕРШИНЫ. ................

129

117)

НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ

 

6x 3y 2z 5 0 И 6x 3y 2z 9 0. ...............................................................................................

130

9

118) ОПРЕДЕЛИТЕ КООРДИНАТЫ КОНЦОВ A И B ОТРЕЗКА, КОТОРЫЙ ТОЧКАМИ C(2, 2) И

 

D(1, 5) РАЗДЕЛЁН НА ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ. ..............................................................................................

131

119) СОСТАВЬТЕ КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

 

x y z 1 0

 

 

x 5y 2z 11

0

. .....................132

120) НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

L

:

 

x 3t

 

 

1

 

 

 

 

y 1 2t

И L2

:

x 1 2t

 

3t

y 5

. .........................133

121)

ОТРЕЗОК С КОНЦАМИ В ТОЧКАХ А(3, −2) И В(6, 4) РАЗДЕЛЕН НА ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ.

НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧЕК ДЕЛЕНИЯ............................................................................................

134

122)

ДАНЫ ДВЕ СМЕЖНЫЕ ВЕРШИНЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА А(-2, 6), В(2,8) И ТОЧКА

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЕГО ДИАГОНАЛЕЙ М(2, 2). НАЙДИТЕ ДВЕ ДРУГИЕ ВЕРШИНЫ........................

135

123)

РАЗЛОЖИТЕ ВЕКТОР V(3,−2) ПО ВЕКТОРАМ E1(1, 3), E2(2, −1). ..................................................

136

124)

ДАНЫ ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА: А(1,1), В(4,1), С(4,5). НАЙДИТЕ КОСИНУСЫ УГЛОВ

 

ТРЕУГОЛЬНИКА. ................................................................................................................................................

137

125)

НАЙДИТЕ ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА A, ПРИ КОТОРЫХ ТОЧКИ А(1, А), В(3, 2−А), С(А,

−5) ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ...................................................................................................................

138

126) НАЙДИТЕ ДЛИНУ ВЫСОТЫ BD В

ABC

, ГДЕ А(-3, 0), В(2, 5), С(3, 2). .......................................

139

 

 

 

127) ОСИ КООРДИНАТ ПОВЕРНУТЫ НА УГОЛ 60

 

. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ

A( 3, 1) ОПРЕДЕЛЕНЫ В НОВОЙ СИСТЕМЕ. ВЫЧИСЛИТЕ КООРДИНАТЫ ЭТО ЖЕ ТОЧКИ В

СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ................................................................................................................

 

140

128) НАЙДИТЕ ТОЧКУ, СИММЕТРИЧНУЮ ТОЧКЕ А(1, 2) ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ

3x

y 9

0

. ......................................................................................................................................................141

129) НАЙДИТЕ ЦЕНТР И РАДИУС КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ABC С

ВЕРШИНАМИ

A(2,

2)

,

B( 5, 1)

, C

(3, 5)

....................................................................................................142

130)

ВЫЧИСЛИТЕ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ABC С ВЕРШИНАМИ А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).

...................................................................................................................................................................................

 

143

131) ВЫЧИСЛИТЕ ОБЪЁМ ТЕТРАЭДРА С ВЕРШИНАМИ А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3). ......

144

132) СОСТАВЬТЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ M1 (2, 3, 1) ,

M 2

(3, 1, 4) , M 3 (2, 1, 5) . ...................................................................................................................................

145

133) ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ЛИ ПРЯМЫЕ

 

x 3 t

 

 

y 1 2t

 

z 4

 

 

И

x 2 y z 0

2x y 2z 0

?............................................

146

134) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ (3, 5, 1)

ПАРАЛЛЕЛЬНО ПРЯМОЙ

x 2 4t

y 3t

z 3

.........................................................................................................147

135)

ПРИ КАКОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА A ТОЧКИ А(1, 2, 3), В(2, -1,5) И С(-1, А, -1)

 

РАСПОЛОЖЕНЫ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ?.....................................................................................................

148

136)

НАЙДИТЕ КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ x 3y z 1 0 И x z 1 0 ..

149

137)

НАЙДИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ A(2, 1, 2) И B( 3, 2, 1) .

...................................................................................................................................................................................

 

150

10

138) ЗАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

x 1

 

y 2

 

z 1

2

1

1

 

 

В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВИДЕ.

...................................................................................................................................................................................151

139) ОПРЕДЕЛИТЕ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ:

x 2 y 3z 6

0

И

x 3z 6

0

........................................................................................................................................................152

ПО СЛЕДСТВИЮ 9.10 ТЕОРЕМЫ 9.19 ЭТИ ПЛОСКОСТИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ.

СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОНИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ НЕ ПОД ПРЯМЫМ УГЛОМ, ПОСКОЛЬКУ ТАКЖЕ

1*1+2*0+3*3 ОТЛИЧНО ОТ НУЛЯ. ..................................................................................................................

152

140) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ

 

( 2, 1, 1)

ПАРАЛЛЕЛЬНО ВЕКТОРУ

P(1, 2,

3)

. .....................................................................................153

141) ПОКАЖИТЕ, ЧТО ТОЧКИ

A(2,

1, 2)

,

B(1,

2,

1)

,

C(2, 3,

0)

,

D(5, 0, 6)

ЛЕЖАТ В ОДНОЙ

ПЛОСКОСТИ. .......................................................................................................................................................

154

142) ПОКАЖИТЕ, ЧТО ВЕКТОРЫ a i 3 j

КОМПЛАНАРНЫ, И РАЗЛОЖИТЕ ВЕКТОР С

2k , b 2i 3

ПО ВЕКТОРАМ

j 4k

, c 3i 12 j 6k

A И B.

.................................................155

143) ВЫЧИСЛИТЕ ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, СТОРОНЫ КОТОРОГО - ВЕКТОРЫ

a k j

И b

i

j

k

...................................................................................................................................156

144) НАРИСУЙТЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И УКАЖИТЕ ТЕ ЕГО ДИАГОНАЛИ, КОТОРЫЕ СООТВЕТСТВУЮТ ВЕКТОРАМ A+B-C И A-B+C, ЕСЛИ ВЕКТОРЫ A, B, C СООТВЕТСТВУЮТ

РЕБРАМ ЭТОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. ......................................................................................................

 

 

 

 

 

157

145)

НАРИСУЙТЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И УКАЖИТЕ ТЕ ЕГО ДИАГОНАЛИ, КОТОРЫЕ

 

СООТВЕТСТВУЮТ ВЕКТОРАМ A+B-C И A-B+C, ЕСЛИ ВЕКТОРЫ A, B, C СООТВЕТСТВУЮТ

РЕБРАМ ЭТОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. ......................................................................................................

 

 

 

 

 

158

146)

ПРОВЕРЬТЕ СПРАВЕДЛИВОСТЬ СВОЙСТВА a, b a И a, b b ДЛЯ ВЕКТОРОВ

a (1, 2, 3) И b (4, 5, 6) . ..............................................................................................................................

 

 

 

 

 

159

147)

НАЙДИТЕ СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ a (1, 2, 3)

И

b (4, 5, 6) . ..........................................................................................................................................................

 

 

 

 

 

160

148)

КОМПЛАНАРНЫ ЛИ ВЕКТОРЫ a (3, 2, 1) , b (2, 3, 4) ,

c (3, 1, 1) ?..............................

161

149)

НАЙДИТЕ КАНОНИЧЕСКОЕ ИЛИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

 

2x y z 2 0

 

 

 

 

 

 

 

. ..........................................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

162

2x y 3z 6 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

150)

НАЙДИТЕ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ

x 2

 

y 3

 

z 1

И ПЛОСКОСТИ

 

1

 

 

 

 

1

4

 

 

x 2 y 3z 14 0 ............................................................................................................................................

 

 

 

 

 

163

151)

НАЧАЛО КООРДИНАТ ПЕРЕНЕСЕНО В ТОЧКУ (1, 2), А ОСИ КООРДИНАТ ПОВЕРНУТЫ

НА УГОЛ 90 ГРАДУСОВ. КАК В ТАКОЙ СИСТЕМЕ БУДЕТ ЗАПИСЫВАТЬСЯ УРАВНЕНИЕ

ПРЯМОЙ, ПРЕЖНЕЕ УРАВНЕНИЕ КОТОРОЙ 2x y 4 0 ?............................................................

 

 

 

164

152)

НАЧАЛО КООРДИНАТ ПЕРЕНЕСЕНО В ТОЧКУ (2, 1), А ОСИ КООРДИНАТ ПОВЕРНУТЫ

НА УГОЛ 60 ГРАДУСОВ. КАК В ТАКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ БУДУТ ЗАПИСЫВАТЬСЯ

КООРДИНАТЫ ПРЕЖНЕГО НАЧАЛА КООРДИНАТ? .............................................................................

 

 

 

 

 

165

153)

ЗАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ А(−3, 1) И В(1, 2), В

ВИДЕ Ax By C 0 .......................................................................................................................................

 

 

 

 

 

166

154)

НАЙДИТЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФУНКЦИЮ, ГРАФИК КОТОРОЙ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ

A1 ( 2, 12) , A2 (0, 2) , A3 (1, 0) .........................................................................................................................

 

 

 

 

 

167

11

155) ЗАПИШИТЕ В ВИДЕ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ A1 (2, 1, 3)

Ax By

, A2 ( 1,

Cz

2, 5)

,

D A3

(3,

0 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ

 

0, 1) . ................................................................................

168

156) ЗАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ И НАЙДИТЕ ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ

 

ТОЧКИ A(1, 2) , B(2, 1) , C(0, 1) . ...................................................................................................................

169

157) НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ А

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ВЕКТОРУ BC , ГДЕ A(1, 2) , B(1, 2) , C( 1, 1) . ..............................................

170

158) НАЙДИТЕ КАКИЕ-НИБУДЬ ДВА НЕНУЛЕВЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ МЕЖДУ ВЕКТОРА СРЕДИ ВСЕХ ВЕКТОРОВ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТИ 2x 2 y z 3

СОБОЙ

 

0 . ......

171

159)

НАЙДИТЕ УРАВНЕНИЕ КАКОЙ-НИБУДЬ ПРЯМОЙ, СОДЕРЖАЩЕЙСЯ В ПЛОСКОСТИ С

УРАВНЕНИЕМ x y 2z 6 0 . .................................................................................................................

 

 

172

160)

НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРОМ a (1, 2, 3)

И ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

[a,b] , ГДЕ b (4, 5 6) .......................................................................................................................................

 

 

173

161)

ПРОВЕРЬТЕ СВОЙСТВО СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ (a,b,c)

[a,b],с

ДЛЯ

ВЕКТОРОВ a (1, 2, 3) b (3, 1, 2) c (2, 3, 1) . ......................................................................................

 

 

174

162) ВЫЧИСЛИТЕ

[a,b],b

ДЛЯ ВЕКТОРОВ

a (1, 2, 3) ,

b

(3, 1,

2)

. ...........................................175

163) СИММЕТРИЧНЫ ЛИ ТОЧКИ

A(1, 2, 1)

И

B(5,

4, 1)

ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ

x 1

 

y 2

 

z 1

?

176

2

1

1

 

 

 

 

164)

УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ ВЕКТОР, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЛОСКОСТИ x 2 y 3z 4 0 .

...................................................................................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

177

165)

НАЙДИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВЕ ВСЕХ ВЕКТОРОВ ИХ R3,

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ВЕКТОРУ {1,2,3}....................................................................................................

178

166)

ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ТОЧКА А(1, 2, 3) ПЕРЕХОДИТ В ТОЧКУ А’(3,1,2). В

КАКУЮ ТОЧКУ ПЕРЕХОДИТ ТОЧКА В(2, 3, 1)?........................................................................................

179

167)

НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ОТНОСИТЕЛЬНО КОТОРОЙ СИММЕТРИЧНЫ

ТОЧКИ (1, 2, 3) И (3, 2, 1). ....................................................................................................................................

180

 

 

 

 

 

 

x 2 y 3z 4 0

168)

УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ ВЕКТОР, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПРЯМОЙ

. 181

 

 

 

 

 

 

x y z 1

0

169)

НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ a (2, 0, 1, 0, 2) И

 

b (1, 3, 1, 3, 4) (КООРДИНАТЫ ЗАДАНЫ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ).....................

182

170) НАЙДИТЕ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ

x1

1

y 5

 

z 1

4

2

 

И ПЛОСКОСТИ

x 3y 7z 24 0 . ..........................................................................................................................................

183

171) СОСТАВЬТЕ УРАВНЕНИЕ ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ABC, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ

 

ВЕРШИНЫ С, ГДЕ

A( 4, 1) ,

B(2,

5)

,

C(8, 1)

.............................................................................................184

189) УКАЖИТЕ КАКОЙ-НИБУДЬ БАЗИС В ПРОСТРАНСТВА ВСЕХ КВАДРАТИЧНЫХ МАТРИЦ

НА R2 (С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ). ......................................................................................................

187

 

2

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

190) НАЙДИТЕ A-1

ДЛЯ A

1

2

1 ................................................................................................

188

 

 

0

1

1

 

 

 

 

 

 

12

191) В НЕКОТОРОМ БАЗИСЕ Е1, Е2 МАТРИЦА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ИМЕЕТ ВИД

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

. НАЙДИТЕ УГОЛ (В ГРАДУСАХ) МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ БАЗИСА................................

189

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

a

0

 

192) НАЙДИТЕ РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ВСЕХ МАТРИЦ ВИДА

 

 

, ГДЕ

 

c

 

 

b

 

 

a b c 0 ..........................................................................................................................................................

 

 

 

 

190

193)

НАЙДИТЕ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ, МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ КОТОРОЙ СОВПАДАЕТ С

ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКОЙ ВЕКТОРОВ a(1, 2, 3) И b(4, 5, 6) . .............................................................

 

 

 

 

191

194)

ОБРАЗУЕТ ЛИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО МНОЖЕСТВО ВСЕХ СТУПЕНЧАТЫХ

МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ОБЫЧНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ?......................................................

 

 

 

 

192

 

 

1

2

3

 

195)

НАЙДИТЕ ВСЕ ВЕКТОРЫ, КОТОРЫЕ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ

 

 

 

ПЕРЕВОДЯТ В

 

 

 

4

5

 

 

ВЕКТОР С КООРДИНАТАМИ 4, 8

 

6

 

 

 

 

 

193

196) СРЕДИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

x

 

2x

2

2x

 

1

 

 

 

 

 

2x

 

2x

 

x

 

 

2

 

1

 

 

 

3 3

1

1

НАЙДИТЕ

ТЕ, КОТОРЫЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ВЕКТОРУ (1, 2, 3) ОТНОСИТЕЛЬНО ОБЫЧНОГО

 

СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ....................................................................................................................

194

197) НАЙДИТЕ БАЗИС, В КОТОРОМ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР С МАТРИЦЕЙ

 

1

 

 

 

2

 

2

 

 

4

 

 

БУДЕТ

ИМЕТЬ ДИАГОНАЛЬНУЮ ФОРМУ. .............................................................................................................

195

198) ВЫЧИСЛИТЕ ОБРАТНУЮ МАТРИЦУ ДЛЯ МАТРИЦЫ

3

A

 

 

5

 

4

 

 

6

 

 

. СДЕЛАЙТЕ

ПРОВЕРКУ, ОСНОВАННУЮ НА ОПРЕДЕЛЕНИИ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. ....................................

196

199)

ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА

ВЕКТОР a(5, 3, ) ПРИНАДЛЕЖИТ

 

ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКЕ ВЕКТОРОВ b(2, 3, 1)

И c(3, 4, 2) ? ................................................................

197

200)

НАЙДИТЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРА,

 

ЗАДАННОГО МАТРИЦЕЙ

1

1

 

 

 

A

0

2

 

0

1

 

 

 

1

 

 

1

2

 

 

. ...........................................................................................198

Номера теорем в решебнике приведены в соответствие с нумерацией, принятой во втором издании учебника 2007 года.

13

1) Проверьте справедливость равенства det(AB)=det(A)·det(B) для

1

2

5

A

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1 4 2 3 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det(A) det

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

6

 

5 8 6 7 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det(B) det

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det(A) det(B) 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 5

6

 

1 5 2 7

1 6 2 8

19

22

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 5 4 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4 7

8

 

3 6 4 8

43 50

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

22

19 50 22 43 950

946 4 .

 

 

 

 

 

 

 

det(AB) det

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

8

 

 

.

14

2) Какие неизвестные следующей системы уравнений можно объявить главными:

x

3x

2

3x

3

x

4

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3x

 

3x

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

Приведем матрицу к ступенчатому виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

3

 

1

 

 

8

 

 

1

3

 

3

 

1

 

8

 

 

 

1

3

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

1

3

3

 

1

 

2

 

 

0

 

6

6

 

2

6

 

 

 

0

3

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

0

 

0

 

5

 

 

x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

 

3

1

 

2

 

 

x4

3 x2

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь главными переменными являются x1, x4, а свободными x2, x3. (В соответствии с определением главных и свободных переменных1)

3

.

1 Страница 19.

15

3) Найдите общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений

5x

3x

2

5x

3

12x

4

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1

2x2

3x3

5x4

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

7x

 

9x

 

4x

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем преобразования Гаусса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

5 12

8

 

 

 

 

 

0

32 40

8

32

 

 

0 4 5 1 4

 

 

 

0

 

0

0

0

0

 

2

2

3

5

4

 

~

 

 

 

0

12 15

3

12

 

~

 

0 4 5 1 4

 

~

 

0

 

4

5

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

7

9

4

8

 

 

 

1

7

9

4

8

 

1 7 9 4 8

 

 

1

9

11

0

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда общее решение может быть записано как:

x

 

8 11x

 

9x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

4 4x

2

5x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частное решение (например): (-8; 0; 0; 4).

  

.

16

2

14 x1 x2

2

4) Квадратичная форма Q( X ) 25 x1

2x2

квадратичную форму в базисе e1’=e1+e2, e2’=e1−e2.

Решение

Согласно следствию 7.2 теоремы 7.4 запишем:

задана в базисе e1, e2. Запишите эту

A T

1

A T

 

Обозначим: C AT

Тогда : TA C

, где А − матрица квадратичной формы в базисе e1, e2

25

7 1

1

18

32

Рассчитаем промежуточную матрицу C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

2

 

 

 

5

9

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем элементарные преобразования:

 

1

1

18

 

 

 

 

 

1

1

5

 

9

~

1

1

18

0

2

23

3231

1

0

0

18 23/ 2

32 31/ 2

 

 

 

 

1

23/ 2

31/ 2

 

 

Следовательно, матрица квадратичной формы в новом базисе выглядит следующим

образом:

A

1

13

 

 

 

 

2

 

23

 

 

33 31

.

17

5) Проверьте тождество (AB)*=B*A* для

A 4

5

 

Решение

6

и

1

 

 

B

1

 

2

 

.

По свойствам произведения матриц:

 

 

1

 

2

 

 

 

 

AB 4

 

 

1

 

 

 

(4 1 5 ( 1) 6 2

4 2 5 3 6 1) 11

29

5

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

11

 

 

2

 

 

 

 

B * A*

 

 

 

 

5

 

.

 

 

 

2

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

6) Найдите все векторы, переходящие в вектор 1,

0,

1

5

4

3

 

 

 

2

1

2

1

 

 

заданного матрицей

.

 

 

5

3

8

1

 

 

 

 

 

Решение

1

под действием оператора,

По теореме 7.1:

1

5

4

3

 

1

14

4

20

0

2

 

0

0

0

0

 

 

2

1

2

1

 

0

 

 

7

2

10

0

1

 

 

21

6

30

0

 

 

 

~

 

~

 

5

3

8

1

 

1

 

 

5

3

8

1

1

 

 

10

6

16

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

2

10

0

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

0

14

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение выглядит следующим образом:

 

x

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

x2

 

 

1

C1

 

7

C2

 

10

, C1

, C2

 

 

x

 

 

 

0

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

11

 

 

 

14

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

1 10x

3

7x

 

 

 

1

2x

 

2 14x

 

11x

 

4

3

 

 

 

1

R .

 

 

 

 

 

0 32

   

~

19

7) Вычислите ранг матрицы AB, если

A

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

B 4

 

 

2

 

,

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

6

.

Вычислим произведение матриц:

4

5

6

 

 

 

 

 

AB

8

10

12

 

 

 

15

18

 

12

 

Заметим, что вторая и третья строка матрицы кратны первой, то есть могут быть получены из нее с помощью преобразований Гаусса. Иными словами, путём

элементарных преобразований, приходим к матрице

определению ранга матрицы.

4

5

 

0

0

 

 

0

0

 

6

0

 

 

0

 

 

, ранг которой равен 1 по

20

8) Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного

4

0

 

матрицей

 

 

.

 

1

4

 

 

 

Решение

По теореме 7.7 и определению характеристического многочлена2:

4

0

 

0

 

 

4

det

 

 

 

 

 

1

 

 

1

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Таким образом, имеем два собственных значения и соответствующих им собственных вектора:

 

4

1

 

 

4

1

 

8

 

 

 

1

 

0

 

 

 

1

 

0 0

0 8

0

~

 

 

1

 

0

 

 

0

 

 

x1

x

 

0

1

 

 

8x

2

 

 

Собственный вектор:

Собственный вектор:

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

8

 

 

 

 

1

 

 

 

2 Страница 85

21

9)Вычислите

3

3

4

 

0

6

1

 

det

 

 

 

 

5

4

2

 

 

 

 

 

2

3

3

 

3

 

1

 

 

 

.

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Решение

3

3

4

3

 

 

0

6

1

1

 

 

 

 

1 (по теореме 2.4)

det

5

4

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

3

2

 

 

 

 

 

22

10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения

 

1

3 x

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 x2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

0

1

3

0

получаем общее

После элементарных преобразований

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

решение однородной системы линейных уравнений: x1

3x2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Базис: С

(по определению базиса и замечанию 3.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что

1

3

1

по определению ранга3. Тогда размерность пространства

rang

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

решений уравнения:

 

 

 

 

dim n rang 2 1 1

(по теореме 6.2)

3 Страница 61

23

11) Найдите ортонормированный базис, в котором квадратичная форма

Q( X ) 4x1

2

10 x1 x2

4x2

2

имеет канонический вид.

 

 

Решение

По теореме 7.7 и определению характеристического многочлена:

4

5

 

0

 

 

1

det

 

 

 

 

 

1

 

 

5

4

 

 

 

 

9

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Иначе говоря, матрица квадратичной формы имеет два собственных значения и соответствующих собственных вектора:

1

 

 

5

5

 

 

1

1

x1 x2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

Y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

0

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

5

5

 

1

 

1

x1

x2

 

 

 

 

1

 

 

 

9

 

 

 

~

 

 

 

 

Y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что векторы Y1

и Y2 ортогональны:

Y1

Y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

Тогда ортонормированный базис: P1

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(По определению ортонормированного базиса4)

1 1 1 1 0 Y

 

 

 

 

 

1

P

Y

 

1

 

1

2

 

 

 

2

Y

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

2

 

 

Y2 .

4 Страница 142

24

12) Определите ранг матрицы

1

2

3

 

 

 

 

 

A

4

5

6

 

 

7

8

9

 

 

 

Решение

1

2

3

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Минор третьего порядка: det(A) det

4

5

6

 

det

4

5

 

7

8

9

 

 

8

10

 

 

 

1

2

 

5 8 3

Минор второго порядка: det

 

 

 

 

4

5

 

 

 

 

 

Таким образом, rang(A)=2. (по определению ранга матрицы)

3

 

 

6

 

0

 

12

 

 

 

 

25