- •9)Вычислите .
- •10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения
- •12) Определите ранг матрицы
- •13) Найдите матрицу X из уравнения
- •14) Является ли система векторов a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,3,4), a3=(5,6,7,8), a4=(4,3,2,1), a5=(1,1,-1,-1) линейно зависимой?
- •15) Запишите квадратичную форму, имеющую данную матрицу
- •16) С помощью правила Крамера решите систему уравнений
- •17) Найдите матрицу перехода от базиса e1=(3, 2), e2=(2, 1) к базису e1’=(2, −2), e2’=(−1, 6)
- •20) Найдите размерность и базис линейной оболочки системы столбцов
- •23) Найдите общее решение системы линейных уравнений
- •24) Выясните, являются ли векторы a1=(2, −3, 1), a 2=(3, −1,5), a3=(1, −4, 3) линейно зависимыми.
- •27) Найдите фундаментальную систему решений системы линейных уравнений
- •30) Найдите размерность пространства решений уравнения
- •42) Найдите какие-нибудь матрицы A и В второго порядка, для которых rang (AB)≠rang(BA), или докажите, что таких матриц не существует.
- •43) Является ли линейным пространством множество всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждого из которых линейно зависимые строки?
- •59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
- •79) Является ли линейным пространством множество всех квадратичных форм с обычными операциями сложения и умножения на вещественные числа?
- •81) Укажите какой-нибудь базис пространства всех симметричных матриц второго порядка.
- •86) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
- •91) Запишите в матричном виде квадратичную форму
- •93) Образует ли линейное пространство множество всех невырожденных матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на вещественные числа?
- •95) Найдите матрицу линейного функционала, который каждой строке чисел из R3 ставит в соответствие сумму этих чисел.
- •101) Всегда ли произведение симметричных матриц является симметричной матрицей?
- •102) Решите матричное уравнение
- •103) Приведите пример матрицы A размера 3х3, у которой все элементы разные и rang(A)=1, или докажите, что такой матрицы не существует.
- •118) Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C(2, 2) и D(1, 5) разделён на три равные части.
- •121) Отрезок с концами в точках А(3, −2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
- •122) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найдите две другие вершины.
- •123) Разложите вектор v(3,−2) по векторам e1(1, 3), e2(2, −1).
- •124) Даны вершины треугольника: А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найдите косинусы углов треугольника.
- •125) Найдите все значения параметра a, при которых точки А(1, а), В(3, 2−а), С(а, −5) лежат на одной прямой.
- •130) Вычислите площадь треугольника ABC с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).
- •131) Вычислите объём тетраэдра с вершинами А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3).
- •135) При каком значении параметра a точки А(1, 2, 3), В(2, -1,5) и С(-1, а, -1) расположены на одной прямой?
- •По следствию 9.10 теоремы 9.19 эти плоскости не являются параллельными. Следовательно, они пересекаются не под прямым углом, поскольку также 1*1+2*0+3*3 отлично от нуля.
- •144) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •145) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •152) Начало координат перенесено в точку (2, 1), а оси координат повернуты на угол 60 градусов. Как в такой системе координат будут записываться координаты прежнего начала координат?
- •165) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех векторов их R3, перпендикулярных вектору {1,2,3}.
- •166) При параллельном переносе точка А(1, 2, 3) переходит в точку А’(3,1,2). В какую точку переходит точка В(2, 3, 1)?
- •189) Укажите какой-нибудь базис в пространства всех квадратичных матриц на R2 (с обычными операциями).
- •194) Образует ли линейное пространство множество всех ступенчатых матриц третьего порядка с обычными операциями?
144) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
Решение (ВАРИАНТ 1)
Пусть векторы a, b, c направлены следующим образом (красный, синий и зеленый соответственно):
Тогда сумма векторов a и b равняется вектору, отмеченному фиолетовым пунктиром на графике (по правилу параллелограмма). Его сумма с вектором с образует (по тому же правилу параллелограмма) черный вектор-диагональ параллелограмма №1.
Разность векторов a и b по правилу треугольника образует вектор, обозначенный сплошным фиолетовым цветом (вектор направлен вправо-вниз, на рисунке не обозначен). Вместе с зеленым вектором с они образуют в сумме черный вектор-диагональ №2 по правилу треугольника сложения векторов.
157
145) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
Решение (ВАРИАНТ 2)19
Пусть теперь векторы a, b, c направлены по-другому (a - красный, b - синий и c - зеленый):
Тогда сумма векторов a и b равняется вектору, отмеченному фиолетовым пунктиром на графике (направлен влево-вниз, по правилу треугольника). Его сумма с вектором с образует (по тому же правилу параллелограмма) черный вектор-диагональ параллелограмма №1.
Разность векторов a и b по правилу параллелограма образует вектор, обозначенный сплошным фиолетовым цветом (вектор направлен влево-вверх, на рисунке не обозначен). Вместе с зеленым вектором с они образуют в сумме черный вектор-диагональ №2 по правилу параллелограмма сложения векторов.
19 Направляя в разные стороны вектора можно получить 6 возможных комбинаций их расположения.
158
146) Проверьте справедливость свойства a, b a и a, b (4, 5, 6) .
Решение
Первоначально, найдём векторное произведение a
b b
и b,
для векторов |
a |
которое будет
(1, 2, 3) |
и |
выглядеть
следующим образом:
|
i |
j |
k |
[a, b] |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
12i 5k 12 j 8k 15i 6 j
6 j 3i 3k
.
Скалярное произведение этого вектора с вектором а равно -3*1+6*2+(-3)*3=0 Скалярное произведение этого вектора с вектором b равно -3*4+6*5+(-3)*6=0
Таким образом, векторное произведение действительно перпендикулярно векторам, его составляющим по теореме 9.10 (следствие 9.6).
159
147) Найдите скалярное и векторное произведения векторов |
a (1, 2, 3) |
и b (4, 5, |
Решение
По определению скалярного произведения20, для этих векторов оно будет равным:
1*4+2*5+3*6=32.
6)
.
По определению векторного произведения21, для этих векторов оно будет равным
i |
j |
k |
[a, b] 1 |
2 |
3 12i 5k 12 j 8k 15i 6 j 6 j 3i 3k |
4 |
5 |
6 |
20 Страница 116
21 Страница 119
160
148) Компланарны ли векторы
a
(3,
2,
1) |
, b (2, 3, |
Решение
4)
,
c
(3, 1,
1)
?
Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости. Или, в соответствии с пунктом 3 следствия 9.8 теоремы 9.14, если их смешанное произведение равняется нулю.
Итак, найдём смешанное произведение векторов:
3 |
2 |
23
31
1 41
9 2 24 9 12 4
0
.
Таким образом, векторы компланарны, то есть если расположить их таким образом, чтобы они выходили из одной точки, то эти векторы будут лежать в одной плоскости. Иными словами, векторы линейно зависимы, то есть один можно записать как линейную комбинацию двух других.
161
2x y z 2 0 |
|
149) Найдите каноническое или параметрическое уравнение прямой |
0 |
2x y 3z 6 |
|
|
|
Решение
В первую очередь, выразим две переменные через третью, а именно:
z 2x 2 |
. Теперь можем записать уравнение прямой в каноническом виде, |
|
|
y |
|
2z 4 |
|
|
|
|
|
воспользовавшись определением со страницы 131. Каноническое уравнение, таким
образом, будет иметь следующий вид: |
z |
|
x 1 |
|
4 y |
. |
|
2 |
1 |
4 |
|||||
|
|
|
|
Для записи прямой в параметрическом виде воспользуемся теоремой 9.21.
.
Прямая в параметрическом виде будет записана таким образом:
y 4 4t
x 1 t
z 2t
.
162
150) Найдите точку пересечения прямой |
x 2 |
|
y 3 |
|
z 1 |
и плоскости |
||||
1 |
1 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
x 2 y 3z 14 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|||
Для нахождения точки пересечения, решим систему: |
|
|
|
|||||||
x 2 y 3z 14 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x y 1 |
, где две последние строки получены путем записи уравнения прямой |
||||||||
|
||||||||||
|
z 4 y 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|||
в виде двух равенств. Решая систему, получаем: |
|
|
|
- координаты точки пересечения. |
||||||
y 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя их в исходное уравнение плоскости и прямой, проверяем правильности нахождения точки.
163
151) Начало координат перенесено в точку (1, 2), а оси координат повернуты на угол 90 градусов. Как в такой системе будет записываться уравнение прямой, прежнее уравнение которой 2x y 4 0 ?
Решение
Для решения задачи воспользуемся теоремой 9.18, согласно которой уравнение связи
x
координат выглядит следующим образом: y
cos
sin
sin x' |
x0 |
|
. Или в нашем |
||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
y' |
y0 |
|
|
||
случае:
x |
cos(90) |
sin(90) x' |
|
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(90) |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
y |
sin(90) |
y' |
|
|
|
|||||
0 |
x' |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
y' |
|
|
|||
x' 1 |
|
|
|
y' 2 |
|
|
|
. Таким образом, в
новой системе координат уравнение будет выглядеть следующим образом:
2(x’+1)+(y’+2)-4=2x’+2+y’+2-4=2x’+y’.
Ответ:
2x' y' 0
164