86) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
|
3 |
1 |
1 |
||
A |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Решение
Найдём корни характеристического многочлена матрицы A (по теореме 7.7):
|
|
3 |
1 |
1 |
1 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
det |
0 |
2 |
1 0 |
2 |
3 |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
0 |
1 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
Для собственного значения 1 |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
Находим собственный вектор: |
|
|
0 |
1 |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1
1
~
2 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
||
0 |
0 |
|
|
x |
x |
2 |
|||
|
|
1 |
|
||
x |
|
x |
|
||
|
2 |
3 |
|||
|
|
||||
Аналогично для 2,3 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
~ |
0 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
x |
3 |
0 |
|
|
|
Y2
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Y3
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
||
|
99
87) Найдите вектор, дополняющий до ортонормированного базиса систему векторов
|
2 |
, |
1 |
, |
2 |
|
1 |
, |
2 |
, |
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
||||
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
Решение |
|
|
|
|
a |
, |
b |
, |
|
Пусть в общем виде искомый вектор выглядит так : |
|
|
||
|
3 |
|
3 |
|
c 3
.
Для того, чтобы найти коэффициенты a, b и с, необходимо наложить на них определенные ограничения.
Поскольку базис должен быть ортонормированным, длина вектора должна быть равна
|
a |
2 |
|
b |
2 |
|
c |
2 |
|
|
|
единице, т.е. |
|
|
|
|
|
1 |
. Также, поскольку вектора базиса должны быть попарно |
||||
9 |
9 |
9 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
перпендикулярны, сумма парных произведений их координат должна давать 0. Отсюда имеем:
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
|
|
|
2a b 2c
a 2b 2c
2
Ответ: ,
3
9 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
2 |
, |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
a |
2 |
|
a |
2 |
|
|
||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
||
c |
a |
||||
2 |
|||||
|
|
|
|||
a b |
|||||
.
9
|
a 2 |
||
|
|
||
|
b 2 |
||
|
|
||
|
c 1 |
||
|
|
|
|
a 2 |
|||
|
|||
|
|
||
|
|
||
b 2 |
|||
|
|
c 1 |
|
|
|||
|
|||
|
|
||
100
88) Запишите в векторной форме общее решение системы линейных уравнений, состоящей из одного уравнения x1 2x2 x3 1 .
Решение
Имеем систему уравнений, состоящую из одного уравнения:
x |
1 2x |
2 |
x |
3 |
1 |
|
|
В векторной форме ее решение выглядит следующим образом:
x |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
0 |
|
C |
|
1 |
|
C |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
C |
,C |
2 |
1 |
|
R
, где Y1 и Y2 - базис.
101
|
x |
|
1 |
89) Проверьте, что формула |
y1 |
|
1 |
форму, и найдите ее матрицу.
Найдём значение формулы:
x |
2 |
x |
3 |
|
|
||
y |
2 |
y |
3 |
|
|
||
2 |
3 |
||
определяет на пространстве R3 билинейную
Решение
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
3x1 y2 |
2 y1 x3 x2 y3 y2 x3 2x1 y3 3x2 y1 |
det y1 |
y2 |
y3 |
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
Запишем данное выражение в матричном виде:
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
2 y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
B(x, y) x |
x |
2 |
x |
3 |
|
3 |
0 |
1 |
|
y |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, формула определяет билинейную форму в соответствии с теоремой 8.2.
102
90) Выясните, являются ли линейно зависимыми векторы a3 7, 8, 9 .
Решение
a1
1,
2,
3
,
a |
2 |
|
4, 5,
6
,
В соответствии с теоремой 5.3 и следствием 5.2 из нее векторы будут линейно независимы, если матрица, составленная из столбцов с координатами соответствующих векторов, будет иметь ненулевой определитель.
Однако
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
det |
4 |
5 |
6 |
|
det |
4 |
5 |
|
7 |
8 |
9 |
|
|
8 |
10 |
|
|
|
|||||
3 |
|
|
6 |
|
0 |
|
||
12 |
|
|
|
|
линейнозависимы
Т.е.
2a |
2 |
|
один вектор можно представить как линейную комбинацию двух других, например:
a3 a1 .
103