- •9)Вычислите .
- •10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения
- •12) Определите ранг матрицы
- •13) Найдите матрицу X из уравнения
- •14) Является ли система векторов a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,3,4), a3=(5,6,7,8), a4=(4,3,2,1), a5=(1,1,-1,-1) линейно зависимой?
- •15) Запишите квадратичную форму, имеющую данную матрицу
- •16) С помощью правила Крамера решите систему уравнений
- •17) Найдите матрицу перехода от базиса e1=(3, 2), e2=(2, 1) к базису e1’=(2, −2), e2’=(−1, 6)
- •20) Найдите размерность и базис линейной оболочки системы столбцов
- •23) Найдите общее решение системы линейных уравнений
- •24) Выясните, являются ли векторы a1=(2, −3, 1), a 2=(3, −1,5), a3=(1, −4, 3) линейно зависимыми.
- •27) Найдите фундаментальную систему решений системы линейных уравнений
- •30) Найдите размерность пространства решений уравнения
- •42) Найдите какие-нибудь матрицы A и В второго порядка, для которых rang (AB)≠rang(BA), или докажите, что таких матриц не существует.
- •43) Является ли линейным пространством множество всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждого из которых линейно зависимые строки?
- •59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
- •79) Является ли линейным пространством множество всех квадратичных форм с обычными операциями сложения и умножения на вещественные числа?
- •81) Укажите какой-нибудь базис пространства всех симметричных матриц второго порядка.
- •86) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
- •91) Запишите в матричном виде квадратичную форму
- •93) Образует ли линейное пространство множество всех невырожденных матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на вещественные числа?
- •95) Найдите матрицу линейного функционала, который каждой строке чисел из R3 ставит в соответствие сумму этих чисел.
- •101) Всегда ли произведение симметричных матриц является симметричной матрицей?
- •102) Решите матричное уравнение
- •103) Приведите пример матрицы A размера 3х3, у которой все элементы разные и rang(A)=1, или докажите, что такой матрицы не существует.
- •118) Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C(2, 2) и D(1, 5) разделён на три равные части.
- •121) Отрезок с концами в точках А(3, −2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
- •122) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найдите две другие вершины.
- •123) Разложите вектор v(3,−2) по векторам e1(1, 3), e2(2, −1).
- •124) Даны вершины треугольника: А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найдите косинусы углов треугольника.
- •125) Найдите все значения параметра a, при которых точки А(1, а), В(3, 2−а), С(а, −5) лежат на одной прямой.
- •130) Вычислите площадь треугольника ABC с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).
- •131) Вычислите объём тетраэдра с вершинами А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3).
- •135) При каком значении параметра a точки А(1, 2, 3), В(2, -1,5) и С(-1, а, -1) расположены на одной прямой?
- •По следствию 9.10 теоремы 9.19 эти плоскости не являются параллельными. Следовательно, они пересекаются не под прямым углом, поскольку также 1*1+2*0+3*3 отлично от нуля.
- •144) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •145) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •152) Начало координат перенесено в точку (2, 1), а оси координат повернуты на угол 60 градусов. Как в такой системе координат будут записываться координаты прежнего начала координат?
- •165) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех векторов их R3, перпендикулярных вектору {1,2,3}.
- •166) При параллельном переносе точка А(1, 2, 3) переходит в точку А’(3,1,2). В какую точку переходит точка В(2, 3, 1)?
- •189) Укажите какой-нибудь базис в пространства всех квадратичных матриц на R2 (с обычными операциями).
- •194) Образует ли линейное пространство множество всех ступенчатых матриц третьего порядка с обычными операциями?
189) Укажите какой-нибудь базис в пространства всех квадратичных матриц на R2 (с обычными операциями).
Решение
Известно, что пространство n-мерных строк имеет размерность n25 Таким образом, пространство матриц с n строками и m столбцами имеет размерность mn. В частности, пространство квадратных матриц имеет размерность 2*2=4.
Возьмём матрицы |
1 |
0 |
, |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
независимыми, поскольку |
|
|
|
||||
|
det |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
столбцов координат матриц.)
,
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 0
0 0 1 0
,
0 0 0 1
0 |
|||
|
|
||
|
0 |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
. Заметим, что они являются линейно |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(мы записали матрицу как систему
Таким образом, эти четыре матрицы являются базисом, как независимая система из 4 элементов в пространстве размерности 4 (по следствию 3.2 теоремы 3.6).
25 См. пример 3.6
187
|
|
2 |
0 |
1 |
|
190) Найдите A-1 для |
|
|
|
|
|
A |
1 |
2 |
1 . |
||
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим возможность нахождения матрицы, обратной А: det |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(В соответствии с теоремой 4.3)
Выполняем ряд элементарных преобразований для нахождения
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
обратной матрицы:
21 0
01 0
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
00 1
1 0 1
0 1 0
2
1
2
0 0 1
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
~ |
||
|
|
0 |
|
|
|
||
|
2
3
4 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
~ |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
~
Таким образом
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
A |
1 |
2 |
||
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
(По теореме 4.5)
188
191) В некотором базисе е1, е2 |
|
3 |
3 |
|
матрица скалярного произведения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
||
Найдите угол (в градусах) между векторами базиса.
Решение
Известно, что матрица скалярного произведения в общем виде выглядит следующим
|
|
e |
, e |
e |
, e |
|
|
|
||
образом: |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
. Таким образом, угол между векторами, равный |
|
e |
, e |
|
e |
|
, e |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||
.
cos e |
|
|
|
e |
, e |
2 |
|
, e |
|
1 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
равен 150 градусам.
, может быть найден, как
|
e |
, e |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e |
, e |
e |
2 |
, e |
2 |
|
3 * 4 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
3 2
, то есть он
189
192) Найдите размерность пространства всех матриц вида
Решение
ab
0 |
|
|
|
c |
|
|
|
, где
a b c
0
.
Размерностью пространства называется число элементов любого базиса26.
В нашей задаче в качестве базиса можно взять матрицы |
1 |
0 |
и |
1 |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
.
Действительно, эти матрицы, если их записать в виде столбцов и посчитать определитель, линейно независимы. Сумма их 1, 3 и 4 элементов равна 0, то есть они принадлежат нашему пространству. Поскольку эти матрицы порождают пространство, то есть любая другая матрица этого пространства может быть представлена как линейная комбинация данных двух, то они действительно образуют базис по определению со страницы 41.
(В
1
10
доказательство
0 |
|
|
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
наших |
|
слов |
|
|
запишем |
линейную |
комбинацию матриц: |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
. Заметим, |
что любой |
вектор пространства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
можно представить в таком виде, поскольку сумма всех элементов действительно равна нулю. В частности, взяв в качестве лямбда-1 и лямбда-2, соответственно, -a и -b, а их сумму обозначив за с, получим матрицу, данную в условии).
26 Страница 45
190
193) Найдите систему уравнений, множество решений которой совпадает с линейной оболочкой векторов a(1, 2, 3) и b(4, 5, 6) .
Решение
Линейная оболочка векторов (по определению, страница 38) представляет собой множество линейных комбинаций этих векторов, то есть 1a 2b .
Таким образом, поскольку система из данных векторов линейно независима (определитель матрицы, столбцы/строки которой образованы данными векторами, имеет определитель, отличный от нуля), то их можно рассматривать как базис и все вектора
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейной оболочки в матричном виде могут быть записаны как |
x2 |
|
C1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
||
и будет решением системы уравнений, которую нам нужно найти. Выписав
виде и системы и выразив через него константы, получаем искомую систему |
|||||
x |
2x |
2 |
x |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
C2 |
|
5 |
|
. Это |
|
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
решение в уравнений:
191