- •9)Вычислите .
- •10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения
- •12) Определите ранг матрицы
- •13) Найдите матрицу X из уравнения
- •14) Является ли система векторов a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,3,4), a3=(5,6,7,8), a4=(4,3,2,1), a5=(1,1,-1,-1) линейно зависимой?
- •15) Запишите квадратичную форму, имеющую данную матрицу
- •16) С помощью правила Крамера решите систему уравнений
- •17) Найдите матрицу перехода от базиса e1=(3, 2), e2=(2, 1) к базису e1’=(2, −2), e2’=(−1, 6)
- •20) Найдите размерность и базис линейной оболочки системы столбцов
- •23) Найдите общее решение системы линейных уравнений
- •24) Выясните, являются ли векторы a1=(2, −3, 1), a 2=(3, −1,5), a3=(1, −4, 3) линейно зависимыми.
- •27) Найдите фундаментальную систему решений системы линейных уравнений
- •30) Найдите размерность пространства решений уравнения
- •42) Найдите какие-нибудь матрицы A и В второго порядка, для которых rang (AB)≠rang(BA), или докажите, что таких матриц не существует.
- •43) Является ли линейным пространством множество всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждого из которых линейно зависимые строки?
- •59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
- •79) Является ли линейным пространством множество всех квадратичных форм с обычными операциями сложения и умножения на вещественные числа?
- •81) Укажите какой-нибудь базис пространства всех симметричных матриц второго порядка.
- •86) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
- •91) Запишите в матричном виде квадратичную форму
- •93) Образует ли линейное пространство множество всех невырожденных матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на вещественные числа?
- •95) Найдите матрицу линейного функционала, который каждой строке чисел из R3 ставит в соответствие сумму этих чисел.
- •101) Всегда ли произведение симметричных матриц является симметричной матрицей?
- •102) Решите матричное уравнение
- •103) Приведите пример матрицы A размера 3х3, у которой все элементы разные и rang(A)=1, или докажите, что такой матрицы не существует.
- •118) Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C(2, 2) и D(1, 5) разделён на три равные части.
- •121) Отрезок с концами в точках А(3, −2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
- •122) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найдите две другие вершины.
- •123) Разложите вектор v(3,−2) по векторам e1(1, 3), e2(2, −1).
- •124) Даны вершины треугольника: А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найдите косинусы углов треугольника.
- •125) Найдите все значения параметра a, при которых точки А(1, а), В(3, 2−а), С(а, −5) лежат на одной прямой.
- •130) Вычислите площадь треугольника ABC с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).
- •131) Вычислите объём тетраэдра с вершинами А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3).
- •135) При каком значении параметра a точки А(1, 2, 3), В(2, -1,5) и С(-1, а, -1) расположены на одной прямой?
- •По следствию 9.10 теоремы 9.19 эти плоскости не являются параллельными. Следовательно, они пересекаются не под прямым углом, поскольку также 1*1+2*0+3*3 отлично от нуля.
- •144) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •145) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •152) Начало координат перенесено в точку (2, 1), а оси координат повернуты на угол 60 градусов. Как в такой системе координат будут записываться координаты прежнего начала координат?
- •165) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех векторов их R3, перпендикулярных вектору {1,2,3}.
- •166) При параллельном переносе точка А(1, 2, 3) переходит в точку А’(3,1,2). В какую точку переходит точка В(2, 3, 1)?
- •189) Укажите какой-нибудь базис в пространства всех квадратичных матриц на R2 (с обычными операциями).
- •194) Образует ли линейное пространство множество всех ступенчатых матриц третьего порядка с обычными операциями?
165) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех векторов их R3, перпендикулярных вектору {1,2,3}.
Решение
По свойствам скалярного произведения, скалярное произведение вектора (1; 2; 3) и некоторого препендикулярного ему (x1, x2, x3) равно:
x1 2x2 3x3 0
В матричном виде решение можно записать, как:
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|||
C |
|
1 |
|
C |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Y |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
. Где сумма квадратов констант не равна нулю.
178
166) При параллельном переносе точка А(1, 2, 3) переходит в точку А’(3,1,2). В какую точку переходит точка В(2, 3, 1)?
Решение
По теореме 9.4 можно сказать, что параллельный перенос задан уравнением
Таким образом, точка В переходит в точку В’(4, 2,0).
x'
y'
z'
x 2 y 1 z 1
.
179
167) Напишите уравнение плоскости, относительно которой симметричны точки (1, 2, 3) и
(3, 2, 1).
Решение
Точки, симметричные относительно плоскости, лежат на одной прямой и имеют одинаковое до нее расстояние. Иначе говоря, середина вектора, проведенного из одной точки в другую, принадлежит этой плоскости, более того, этот вектор перпендикулярен плоскости, то есть является ее нормалью.
Итак, поскольку вектор, соединяющий обе точки, равен (2, 0, -2), то, по теореме 9.19, уравнение плоскости в общем виде выглядит так: 2x 2z d 0. Так как середина вектора, точка (2, 2, 2) - которая получается по следствию 9.1 - также должна лежать в плоскости, то, подставляя ее значение в уравнение, находим значение d, равное нулю.
Ответ:
x
z
.
180
x 2 y 3z 4 0 |
. |
|
168) Укажите какой-нибудь вектор, параллельный прямой |
x y z 1 0 |
|
|
|
|
Решение
|
x t 5 |
||
Запишем прямую в параметрическом виде: |
|
|
2t . Тогда, по теореме 9.21 в качестве |
y 3 |
|||
|
|
z 1 t |
|
|
|
||
|
|
|
|
вектора, параллельного прямой, можем взять вектор Р(-1, -2, 1).
181
169) Найдите угол между векторами |
a (2, 0, 1, 0, 2) |
и |
заданы в ортонормированном базисе).
Решение
По следствию 9.7 косинус угла между векторами равен
a, b |
|
2 *1 0 * 3 ( 1) *1 0 * ( 3) 2 * 4 |
|
2 1 8 |
|
||
a b |
4 1 4 |
1 9 1 9 16 |
3 * 6 |
||||
|
|
|
|||||
в 60 градусов.
b
1 2
(1, 3, 1, 3, 4) |
(координаты |
, то есть вектора образуют угол
182
170) Найдите точку пересечения прямой |
x 1 |
|
y 5 |
|
z 1 |
и плоскости |
|
|||||
1 |
4 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3y 7z 24 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
||
Для |
нахождения |
точки |
|
пересечения, |
решим |
систему: |
||||||
x 3y 7z 24 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y 1 |
, где две последние строки получены путем записи уравнения прямой |
||||||||||
|
||||||||||||
|
2z y 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||
в виде двух равенств. Решая систему, получаем: |
|
|
|
|
- координаты точки пересечения. |
|||||||
y 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя их в исходное уравнение плоскости и прямой, проверяем правильности нахождения точки.
183
171) Составьте уравнение высоты треугольника ABC, проведенной из вершины С, где
A( 4, 1)
,
B(2,
5)
,
C(8, 1)
.
Решение
Высота треугольника перпендикулярна его основанию, поэтому необходимо найти прямую, проходящую перпендикулярно прямой AB через вершину C.
Для начала найдём уравнение прямой, проходящей через точки A и B, которая
|
x |
y |
1 |
|
|
формулой: |
4 |
1 |
1 |
0 |
(По следствию 9.9 теоремы 9.15 - пункт 5). |
|
2 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдя определитель матрицы, получаем уравнение прямой: 2x 3y 11 0
Множество прямых, перпендикулярных ей, задается уравнением: 3x 2 y c
задается
0
(По следствию 9.9 теоремы 9.15 - пункт 1). В частности, необходимая нам прямая - та, что проходит через точку С задается уравнением 3x 2 y 22 0 .
184
172) Найдите на плоскости
x 3y 7x 24 0
точку, ближайшую к точке
(1, 4, 10)
.
Решение
185
173)
174)
175)
176)
177)
178)
179)
180)
181)
182)
183)
184)
|
|
1 |
2 |
2 |
4 |
относительно скалярного |
||||
185) Сопряжены ли операторы с матрицами |
|
|
|
и |
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
произведения с матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
188) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186